Proste równanie trygonometryczne

[matematykiv]

Zrobisz mi to do cale? Bo nie umiem

Tak się niczego nie nauczysz.

JK

Zobacze jak to robic i zrobie pozostale przyklady.

[musialmi]

\(\displaystyle{ \ctg (-x)}\) możesz zamienić na \(\displaystyle{ \ctg x}\), wiesz jak?

[matematykiv]

\(\displaystyle{ \ctg (-x)}\) możesz zamienić na \(\displaystyle{ \ctg x}\), wiesz jak?

Nie mam pojecia i nie rozumiem kompletnie o co w tym chodzi, milo by bylo gdyby ktos mogl mi to rozwiaxsc i dodac ktorki komemtarz o co chodzi i jak to zrobic

[Premislav]

Otóż cotangens jest funkcją nieparzystą. Można to łatwo wywnioskować z tego, iż \(\displaystyle{ \ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}}\) (oczywiście dla odpowiednich \(\displaystyle{ x}\)) oraz parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa (funkcja jest nieparzysta, jeśli \(\displaystyle{ (\forall x \in Df)( f(-x)=-f(x))}\), parzysta jeśli \(\displaystyle{ (\forall x \in Df)( f(-x)=f(x))}\), gdzie \(\displaystyle{ Df}\) - dziedzina funkcji).
To powinno ułatwić rozwiązanie.

[matematykiv]

Czyli bedzie to \(\displaystyle{ 2\ctg (-x)=1-\ctg (x)}\)
czyli
\(\displaystyle{ -2\ctg (x)=1-\ctg (x)\\
\ctg (x)=-1}\)

czyli \(\displaystyle{ \frac34\pi + k\pi}\) ?

[musialmi]

Tak Przejście do drugiej linijki w latexu robi się stawiając "\".

[matematykiv]

a jak zrobic \(\displaystyle{ \cos 2x = \cos x}\)? z wykresu widac ale chodzi mi o metode algebraiczna, probowalem \(\displaystyle{ 2x = x + 2k \pi}\) ale nie wychodzi no i wiem ze ten pierwszy i drugi cosinus maja inne okresy, ale nie wiem jak to zrobic.

[musialmi]

A znasz wzór \(\displaystyle{ \cos 2x = \cos^{2} x-\sin^{2} x}\)? Wynika on ze wzoru na cosinus sumy dwóch kątów i z jedynki trygonometrycznej.

[matematykiv]

A znasz wzór \(\displaystyle{ \cos 2x = \cos^{2} x-\sin^{2} x}\)? Wynika on ze wzoru na cosinus sumy dwóch kątów i z jedynki trygonometrycznej.

Nie znalem, nie mam podręcznika i robię trochę do przodu zanim wytłumaczy nauczyciel w szkole. W każdym razie \(\displaystyle{ \cos 2x = \cos^{2} x-\sin^{2} x}\) zamieniłem na \(\displaystyle{ \cos^{2} x -1 + cos^{2} x = \cos x}\) i dalej za cos x podstawiam t mam rownanie kwadratowe, ale dalej cos nie tak

[musialmi]

Właśnie taka jest metoda. Dlaczego coś nie tak?

PS Skoro nie znałeś, to warto znać wyprowadzenie. Jest ono banalne:
\(\displaystyle{ \cos (x+x)=\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x}\)
Oczywiście podstawą jest wzór na cosinus sumy dwóch kątów. Nawet bez jedynki się obyło

[matematykiv]

Właśnie taka jest metoda. Dlaczego coś nie tak?

PS Skoro nie znałeś, to warto znać wyprowadzenie. Jest ono banalne:
\(\displaystyle{ \cos (x+x)=\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x}\)
Oczywiście podstawą jest wzór na cosinus sumy dwóch kątów. Nawet bez jedynki się obyło

wychodzi mi \(\displaystyle{ t_1 = -1}\) i \(\displaystyle{ t_2 = 2}\) a w odp jest \(\displaystyle{ \frac23k \pi}\)

edit: widze błąd teraz mam \(\displaystyle{ t_1=-\frac12}\) i \(\displaystyle{ t_2 = 1}\), wiec nie powinno byc \(\displaystyle{ \frac23k \pi}\) lub \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + k \pi}\) ? co robie zle?

Zresztą to się robi chyba inaczej bo ten temat jest przed tematem z tymi przekształceniami no i są w tym zadaniu np przykłady \(\displaystyle{ \ctg 3x = \ctg (x + \frac{ \pi }{4}}\), więc robiąc tak samo jak przykład wyże wychodziłyby jakieś mega równania..