Jaka dziedzina

[qmon]

Ćwiczę sobie liczenie dziedziny i z tym przykładem mam problem.

\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\ln \sqrt{ \frac{x}{x^{2}-1 } } + \arcsin \frac{x}{3}}\)

Z arcsin zakładam że:
\(\displaystyle{ -1 \le \frac{x}{3} \le 1}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{x}{3} \ge -1 \wedge \frac{x}{3} \le 1}\)

\(\displaystyle{ x \ge -3 \wedge x \le 3}\)

A co w pierwszej części? Z tego co wiem logarytm musi być większy od 0, czyli mogę od razu założyć taki warunek? I czy jakoś to obliczę?
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x}{x^{2}-1 } > 0}\)

Czy muszę to jakoś rozbić i liczyć że:
\(\displaystyle{ x^{2}-1 \neq 0}\)
I jaki w takim razie jest licznik? A pierwiastek z całości i tak musi być \(\displaystyle{ > 0}\)

[miodzio1988]

Pierwiastek z definicji jest nieujemny

To co pod pierwiastkiem musi być większe od zera (zerowac sie nie moze bo logarytm) + uwzględnic zerowanie mianownika.

[qmon]

Ale jak do zapisać, żeby móc z tego narysować wykres i odczytać dziedzinę?

[miodzio1988]

Zamien iloraz na iloczyn i wtedy masz nierownosc z wielomianem

[qmon]

\(\displaystyle{ x \cdot \frac{1}{x ^{2}-1 } > 0 ?}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ x (x^{2}-1)>0}\)

[qmon]

A skąd te czary? myślałem że mogę zamienić na odwrotność tak jak przy ułamkach
Ok to mogę rozpisać to tak?
\(\displaystyle{ x(x-1)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ x>0 \wedge x=1 \wedge x=-1}\) ?
czyli
\(\displaystyle{ x \in (1,+ \infty)}\)

Czy coś pomieszałem?

[mortan517]

Te czary się wzięły stąd, że znak ilorazu i iloczynu jest zawsze taki sam.

Rozpisujesz \(\displaystyle{ x(x-1)(x+1)>0}\), zaznaczasz miejsca zerowe na osi i rysujesz "wężyk"

[qmon]

Czyli mam \(\displaystyle{ 3}\) miejsca zerowe: \(\displaystyle{ 0, 1, -1}\)
Jest \(\displaystyle{ >0}\) czyli zaznaczam \(\displaystyle{ (-1;0) \wedge (0;+ \infty}\))?
I co zaznaczam na wykresie te przedziały, i przedziały od arcsin, i cześć wspólna będzie dziedziną?
Czy kasuję ten przedział \(\displaystyle{ -1:0}\) bo pierwiastek i logarytm muszą być większe od zera?

[mortan517]

Drugi z przedziałów źle. Poza tym między nimi ma być suma nie koniunkcja. A wynikiem jest część wspólna, bo tylko liczby spełniające oba warunki należą do dziedziny.

[qmon]

Z wykresu wynika, że:
\(\displaystyle{ (-1;0) \vee (1;+ \infty )}\)?


Czyli na podstawie części wspólnych wychodzi mi dziedzina:
\(\displaystyle{ x \in (-1;0) \vee (1;3>}\)



Czy to jest dobrze?

[mortan517]

Wygląda ok.

[qmon]

Te czary się wzięły stąd, że znak ilorazu i iloczynu jest zawsze taki sam.

Ok dzięki, ale jeszcze to mi nie daje spokoju. Może coś gdzieś kiedyś przegapiłem no ale nie mam pojęcia dlaczego tak mogę zamienić.

[Igor V]

\(\displaystyle{ \frac{p(x)}{q(x)}>0}\) , dla \(\displaystyle{ q(x)\not=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{p(x)}{q(x)}>0|\cdot q ^{2}(x)>0}\)
\(\displaystyle{ p(x)q(x)>0}\)