Wykaż że równanie jest tożsamością

[vergil]

\(\displaystyle{ \cos ^{4} \alpha + \sin ^{4} \alpha = 1-2 \cdot \sin ^{2} \alpha \cdot \cdot \cos ^{2} \alpha}\)

Próbuję coś przekształcić

\(\displaystyle{ L= ( \cos ^{2} \alpha )^{2} + 2 \cdot \sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha + ( \sin ^{2} \alpha ) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ P= \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha - 2 \cdot \sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha}\)

I nie wiem co dalej. Pomożecie?

[Pijarek]

\(\displaystyle{ L=\cos ^2x(1-\sin ^2x)+\sin ^2x(1-\cos ^2x)=P}\)

[marcel112]

Można też tak: równanie przekształcasz do następującej postaci

\(\displaystyle{ \cos^4{x}+2\sin^2{x}\cos^2{x}+\sin^4{x}=1}\) stosując wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^4+2(ab)^2+b^4=(a^2+b^2)^2}\) mamy

\(\displaystyle{ (\sin^2{x}+\cos^2{x})^2=1}\) a z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(\displaystyle{ \sin^2{x}+\cos^2{x}=1}\) otrzymujemy tożsamość \(\displaystyle{ 1=1}\) zatem początkowe równanie jest prawdziwe

[vergil]

Można też tak: równanie przekształcasz do następującej postaci

\(\displaystyle{ \cos ^4{x}+2\sin ^2{x}\cos ^2{x}+\sin ^4{x}=1}\) stosując wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^4+2 \left( ab \right) ^2+b^4= \left( a^2+b^2 \right) ^2}\) mamy

\(\displaystyle{ \left( \sin ^2{x}+\cos ^2{x} \right) ^2=1}\) a z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(\displaystyle{ \sin ^2{x}+\cos ^2{x}=1}\) otrzymujemy tożsamość \(\displaystyle{ 1=1}\) zatem początkowe równanie jest prawdziwe

Więc po lewej stronie mamy 1, ale jak ma się to równać P?

\(\displaystyle{ L=\cos ^2x \left( 1-\sin ^2x \right) +\sin ^2x \left( 1-\cos ^2x \right) =P}\)

Nie wiem jak to się równa P. Ponadto odnoszę wrażenie, że źle wyłączyłeś czynnik.

Mam jeszcze jeden przykład:
\(\displaystyle{ \cos ^{4} \alpha - \sin ^{4} \alpha = \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha}\)
Czy to jest w ogóle możliwe?

[Geftus]

Tak, bo wzór na różnicę kwadratów:

\(\displaystyle{ \cos^{4} \alpha - \sin^{4} \alpha = (\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha)(\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha) = ...}\)

[vergil]

Tak, bo wzór na różnicę kwadratów:

\(\displaystyle{ \cos ^{4} \alpha - \sin ^{4} \alpha = \left( \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha \right) \left( \cos ^{2} \alpha + \sin ^{2} \alpha \right) = ...}\)

Do tej porty rozumiem, lecz jak z tego ma wyjść samo \(\displaystyle{ \left( \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha \right)}\)?

Dodam tutaj jeszcze jedną rzecz, by nie tworzyć osobnego watku.
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\tg x=1}\) Według mnie \(\displaystyle{ x}\) równy jest ok.26 czy to poprawny wynik?

[kalwi]

Tak, bo wzór na różnicę kwadratów:

\(\displaystyle{ \cos ^{4} \alpha - \sin ^{4} \alpha = \left( \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha \right) \left( \cos ^{2} \alpha + \sin ^{2} \alpha \right) = ...}\)

Do tej porty rozumiem, lecz jak z tego ma wyjść samo \(\displaystyle{ \left( \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha \right)}\)?

Dodam tutaj jeszcze jedną rzecz, by nie tworzyć osobnego watku.
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\tg x=1}\) Według mnie x=ok.26 czy to poprawny wynik?

\(\displaystyle{ \cos ^{4} \alpha - \sin ^{4} \alpha = \left( \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha \right) \left( \cos ^{2} \alpha + \sin ^{2} \alpha \right) =\cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha}\)

O jedynce trygonometrycznej słyszałeś?

\(\displaystyle{ \sqrt{3}\tg x=1 \Rightarrow \tg x= \frac{\sqrt3}{3} \Rightarrow x=30^{\circ}}\)

30 stopni oczywiście (nie mogę znaleźć tego znaczka w TeXu)

[vergil]

Zapomniałem, o jedynce...

Jeszcze jakbyś mi mógł wyjaśnić co ty zrobiłeś z tym tg (rozumiem dlaczego 30, nie rozumiem procesu).

Pytanie z pierwszego postu pozostaje otwarte.

[kalwi]

Jeszcze jakbyś mi mógł wyjaśnić co ty zrobiłeś z tym tg (rozumiem dlaczego 30, nie rozumiem procesu).

Przecież napisałem cały proces, wyliczasz tangens i odczytujesz z tablic wartość \(\displaystyle{ x}\)

[Pijarek]

\(\displaystyle{ L=\cos ^2x(1-\sin ^2x)+\sin ^2x(1-\cos ^2x)=P}\)

Czekając na gotowca nawet nie sprawdziłeś trgo co napisałem.

\(\displaystyle{ L=\cos ^4 x+\sin ^4 x=\cos ^2 x \cdot \cos ^2 x+\sin ^2 x \cdot \sin ^2 x=\\=\cos ^2 x \cdot (1-\sin ^2 x)+\sin ^2 x \cdot (1-\cos ^2 x)=\\=\cos ^2 x-\cos ^2 x \cdot \sin ^2 x+\sin ^2 x-\sin ^2 x\cdot \cos ^2 x=\cos ^2 x+\sin ^2 x-2\sin ^2 x \cdot \cos ^2 x=\\=1-2\sin ^2 x \cdot \cos ^2 x=P}\)