nierówność trygonometryczna

[rochaj]

Niech \(\displaystyle{ x+y \le \pi}\), pokaż że \(\displaystyle{ \cos{x}+\cos{y}-\cos{x}\cos{y} \le 2}\).

[a4karo]

Jeśli \(\displaystyle{ \cos x\cos y\geq 0}\) to nierówość jest oczywista. Niech zatem \(\displaystyle{ \cos x\cos y<0}\) i (dla ustalenia uwagi) \(\displaystyle{ \cos y<0}\). Wtedy też
\(\displaystyle{ \cos x+\cos y-\cos x\cos y\leq \cos x-\cos x\cos y\leq 2}\)

[musialmi]

Czy mi się wydaje, czy ta nierówność jest oczywista w ogólności? Czy warunek początkowy jest niezbędny do prawdziwości tej nierówności?

[a4karo]

Ograniczenie nie jest do niczego potrzebne

[gabrysb1995]

Można też tak

\(\displaystyle{ (\cos x - 1)(1-\cos y)+1 \le 2}\)
\(\displaystyle{ (\cos x - 1)(1-\cos y) \le 1}\)

I widzimy, że pierwszy czynnik mniejszy od zera(lub równy), a drugi jest dodatni (lub 0).

Co więcej w początkowej nierówności możemy zamiast \(\displaystyle{ 2}\) ograniczyć \(\displaystyle{ 1}\), co jest już skrajnym ograniczeniem.