pewien iloczyn cosinusów

[rozprzedstud]

Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie dowolną taką liczbą rzeczywistą, że \(\displaystyle{ \cos x=\frac{10\sqrt{7}}{49}}\). Pokazać, że dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego liczba \(\displaystyle{ \prod_{i=0}^{n}\cos \left(\frac{2i \pi + x}{3}\right)}\) jest wymierna.

[matmatmm]

Najpierw trzeba obliczyć ile wynosi \(\displaystyle{ \cos\frac{x}{3}}\)
Prawdziwy jest wzór:

\(\displaystyle{ \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha}\)

Co daje nam

\(\displaystyle{ \cos x = 4\cos^3 \frac{x}{3} - 3\cos \frac{x}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{10\sqrt{7}}{49} = 4\cos^3 \frac{x}{3} - 3\cos \frac{x}{3}}\)

Oznaczając \(\displaystyle{ a=\cos\frac{x}{3}}\) mamy równanie trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ \frac{10\sqrt{7}}{49} = 4a^3 - 3a}\)

Sprawdź, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a=\frac{5\sqrt{7}}{14}}\)

Następnie wykonaj dzielenie wielomianów, żeby wyznaczyć pozostałe dwa pierwiastki. To da nam trzy możliwe wartości \(\displaystyle{ \cos\frac{x}{3}}\).

Potem wzór na cosinus sumy.

[rozprzedstud]

Te trzy możliwe wartości \(\displaystyle{ \cos \frac{x}{3}}\) to \(\displaystyle{ -\frac{2}{\sqrt{7}},-\frac{1}{2\sqrt{7}},\frac{5}{2\sqrt{7}}}\), po rozpisaniu ze wzoru na cosinus sumy do rozpatrzenia będą 3 iloczyny do rozważenia

Będzie 6 iloczynów dla \(\displaystyle{ \begin{cases}\cos \frac{x}{3}=-\frac{2}{\sqrt{7}} \\ \sin \frac{x}{3}= \pm \sqrt{\frac{3}{7}}\end{cases},\begin{cases}\cos \frac{x}{3}=-\frac{1}{2\sqrt{7}} \\ \sin \frac{x}{3}= \pm \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\end{cases}, \begin{cases}\cos \frac{x}{3}=\frac{5}{2\sqrt{7}} \\ \sin \frac{x}{3}= \pm \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\end{cases}}\)

postaci

\(\displaystyle{ \prod_{i=0}^{n}\cos \left(\frac{2i \pi + x}{3}\right)}\)

po rozpisaniu z tego wzoru będzie

\(\displaystyle{ \prod_{i=0}^{n} \left( \cos \left( \frac{x}{3} \right) \cos \left( \frac{2 \pi i}{3} \right) -\sin \left( \frac{x}{3} \right) \sin \left( \frac{2 \pi i}{3} \right) \right)}\)

Tylko nie wiem jak znaleźć odpowiednie \(\displaystyle{ n}\). Mógłbyś je wskazać chociaż w jednym przypadku?

[matmatmm]

Zauważmy, że niezależnie od wartości \(\displaystyle{ i}\) istnieją liczby wymierne \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takie, że
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{2\pi i}{3}\right)=p}\)
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{2\pi i}{3}\right) =q\sqrt{3}}\)

Łatwo również zauważyć, że niezależnie od wartości \(\displaystyle{ \cos\frac{x}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\frac{x}{3}}\) istnieją liczby wymierne \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ s}\) takie, że
\(\displaystyle{ \cos\frac{x}{3}=\frac{r}{\sqrt{7}}}\)
\(\displaystyle{ \sin\frac{x}{3}=\frac{s\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}\)

Wobec tego dla każdego \(\displaystyle{ i}\)

\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{x}{3} \right) \cos \left( \frac{2 \pi i}{3} \right) -\sin \left( \frac{x}{3} \right) \sin \left( \frac{2 \pi i}{3} \right) = \frac{r}{\sqrt{7}}\cdot p - \frac{s\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\cdot q\sqrt{3}=\frac{rp-3sq}{\sqrt{7}}}\)

Wniosek jest taki, że każdy iloczyn z parzystą liczbą czynników będzie wymierny, czyli dowolne \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste spełnia warunki zadania.