Obliczanie wartości alfa i rozwiązanie równania

[kostka_rubika]

Mam problem z rozwiązaniem tego typu zadań, jeśli ktoś pomoże i wyjaśni będę wdzięczna

Obliczyć:
\(\displaystyle{ \alpha = \sin \left( 2\arccos \frac{1}{4} \right)}\)

Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \arctan \left( 1 + x \right) + \arctan \left( 1 - x \right) = \frac{ \pi }{4}}\)

[a4karo]

Ad 1. \(\displaystyle{ \sin 2x=?}\), \(\displaystyle{ \sin(\arccos x)=?}\), \(\displaystyle{ \sin(\arcsin x)=?}\)

Ad 2. Spróbuj \(\displaystyle{ 1+x=\ctg \alpha,\ 1-x=\ctg \beta}\)

[Marmat]

Zadanie 1.
\(\displaystyle{ \alpha = \sin \left( 2\arccos \frac{1}{4} \right)}\)
Oznacz sobie:\(\displaystyle{ \beta =\arccos \frac{1}{4}}\)
Oczywiście z definicji funkcji arccos(x) i jej dziedziny :\(\displaystyle{ \beta \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)}\)
Czyli \(\displaystyle{ \cos \left( \beta \right) = \frac{1}{4}}\)
Nasze wyrażenie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \alpha = \sin \left( 2 \beta \right)}\)
Ze wzoru na sinus podwojonego kąta:
\(\displaystyle{ \sin \left( 2 \beta \right) = 2\sin \beta \cos \beta}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{1}{4}}\)
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \beta +\cos ^{2} \beta =1, \\
\sin ^{2} \beta =1-\left( \frac{1}{4} \right)^{2} \\
\sin ^{2} \beta = \frac{15}{16} \\
\sin \beta = \frac{ \sqrt{15} }{4}}\)
Dalej już z górki:
\(\displaystyle{ \alpha =\sin 2 \beta =2 \cdot \frac{ \sqrt{15} }{4} \cdot \frac{1}{4}= \frac{ \sqrt{15} }{8}}\)

Zad.2.
Oznacz sobie \(\displaystyle{ \alpha =arc \tg \left( 1+x \right) , \beta =arc \tg \left( 1-x \right)}\)
Z definicji funkcji arc tg
\(\displaystyle{ x \in R, \alpha ,
\wedge \beta \in \left( - \frac {\pi}{2}, \frac{ \pi }{2} \right)}\)
Nasze równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = \frac{ \pi }{4}}\)
Jest to równoważne temu, że: \(\displaystyle{ \tg \left( \alpha + \beta \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \tg \left( \alpha + \beta \right) = \frac{\tg \alpha +\tg \beta }{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta }= \frac{1+x+1-x}{1- \left( 1+x \right) \left( 1-x \right) } = \frac{2}{1- \left( 1-x^{2} \right) }= \frac{2}{x^{2}}=1}\)
Ostateczne równanie to:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{2}}=1}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=2 \\
x= \sqrt{2} \vee x=- \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x=0}\) nie jest rozwiazaniem równania, gdyż:
\(\displaystyle{ \arctan 1+\arctan 1= \frac{ \pi }{4}+ \frac{ \pi }{4}= \frac{ \pi }{2} \neq \frac{ \pi }{4}}\)
Pozdrawiam.