Równanie z konkursu matematycznego PW

[barogrom]

Witam, mam problem z jednym równaniem trygonometrycznym. Stosowałem wszystkie znane mi wzory i zawsze dochodziłem do momentu, z którego nie mogłem dalej ruszyć.

\(\displaystyle{ 4\sin \left( 2x \right) + 4\cos \left( 2x \right) - 4 = \frac{\tg x + \sqrt{3}}{\cos x + \sin x}}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ 4(\sin 2x + \cos 2x-1)=4(2\sin x\cos x+\cos ^{2} x-\sin ^{2} x-sin ^{2} x-\cos ^{2} x)=
8\sin x(\cos x-\sin x)=8 \frac{\sin x(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x)}{\cos x+\sin x}= 8\frac{\sin x \cos 2x}{\cos x+\sin x}}\).
Zatem wystarczy przyrównać liczniki, co powinno być przyjemniejsze (oddzielnie rozpatrzyć należy takie argumenty, że \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=0}\) i sprawdzić, czy jakiekolwiek, a jeśli tak, to które z nich spełniają rozwiązywane równanie-> dobra, to był żart, chyba się nie wyspałem).

[Lider_M]

Oczywiście założenia, a potem:
\(\displaystyle{ 8\sin x\cos x+4(1-2\sin^2x)-4=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}+\sqrt{3}}{\cos x+\sin x}}\)
\(\displaystyle{ 8\sin x\cos x-8\sin^2x=\frac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{\cos x(\cos x+\sin x)}}\)
\(\displaystyle{ 8\sin x(\cos x-\sin x)=\frac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{\cos x(\cos x+\sin x)}}\)
\(\displaystyle{ 8\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x}\)
\(\displaystyle{ 4\sin 2x\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}\cos x}\)
\(\displaystyle{ 2\sin 4x=\sin x+\sqrt{3}\cos x}\)
\(\displaystyle{ \sin 4x=\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x}\)
\(\displaystyle{ \sin 4x=\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin 4x=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ 4x=x+\frac{\pi}{3}+2k\pi, 4x=\pi-\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi}\)