Problemy związane z definicją

[Andrzej_WD]

Witam,
na Wikipedii natknąłem się na wzmiankę o tym, że funkcje takie jak arcus secans i arcus cosecans mogą być różnie definiowane, zależnie od tego jaką część dziedziny wybierzemy, by spełnić warunek, żeby funkcja była różnowartościowa.

Niestety nie rozumiem jaka matematyka za tym stoi, że używając jednej dziedziny musimy np. napisać \(\displaystyle{ \pm}\), a używając innej np. tylko \(\displaystyle{ +}\). Prosiłbym o w miarę proste konkretne wytłumaczenie na podstawie poniższego fragmentu uwzględniając poszczególne etapy jeśli można prosić.


Oto fragment, którego nie mogę zrozumieć (chodzi o brak zrozumienia matmy w poniższym tekście, a nie słownictwa rzecz jasna ):
Note: Some authors define the range of arcsecant to be \(\displaystyle{ 0 \le x < \pi /2}\) or \(\displaystyle{ \pi \le x < 3 \pi /2}\) , because the tangent function is nonnegative on this domain. This makes some computations more consistent. For example using this range, \(\displaystyle{ \tan \left( arcsec \left( x \right) \right) = \sqrt{x^2+1}}\), whereas with the range \(\displaystyle{ 0 \le x < \pi /2}\) or \(\displaystyle{ \pi /2 < x \le \pi}\) , we would have to write \(\displaystyle{ \tan \left( arcsec \left( x \right) \right) = \pm \sqrt{x^2+1}}\), since tangent is nonnegative on \(\displaystyle{ 0 \le x < \pi /2}\) but nonpositive on \(\displaystyle{ \pi /2 < x \le \pi}\). For a similar reason, the same authors define the range of arccosecant to be \(\displaystyle{ - \pi < x \le - \pi /2}\) or \(\displaystyle{ 0 < x \le \pi /2}\).

Nie wiem czy do wyjaśnienia sytuacji potrzebne są pochodne - mam nadzieję, że nie, bo nie jestem jeszcze z nimi zaznajomiony.
domain - dziedzina
range - zbiór wartości
Mogę przetłumaczyć całość jeśli coś sprawia trudność.

[matmatmm]

Zajmijmy się przypadkiem, gdy za dziedzinę \(\displaystyle{ \mbox{sec}}\) przyjęlibyśmy \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2},\pi \right]}\). Wówczas
Dla \(\displaystyle{ x\in [ 1,+\infty)}\) zachodzi \(\displaystyle{ \tg \left( \mbox{arcsec} \left( x \right) \right) =\sqrt{x^2+1}}\)
Dla \(\displaystyle{ x\in ( -\infty ,-1]}\) zachodzi \(\displaystyle{ \tg \left( \mbox{arcsec} \left( x \right) \right) =-\sqrt{x^2+1}}\)

Znak \(\displaystyle{ \pm}\) oznacza, że jest to plus lub minus w zależności, do jakiego przedziału należy \(\displaystyle{ x}\).

EDIT. Poprawa poważnego błędu.
Jeszcze jeden EDIT.
Coś mi się tu nie zgadza, bo
\(\displaystyle{ \tg(\mbox{arcsec}(1))=\tg 0 =0 \neq \sqrt{1^2 +1}}\).

Wzór chyba powinien być \(\displaystyle{ \pm \sqrt{x^2-1}}\)

[Andrzej_WD]

Dziękuję za pomoc Analizując Twoją wypowiedź i wykresy poszczególnych funkcji chyba już zrozumiałem dlaczego tak jest. Masz również rację, że wzór powinien wyglądać \(\displaystyle{ \pm \sqrt{x^2-1}}\) - był błąd w tekście, bo w innym miejscu w tym samym artykule jest już dobra wersja.

Przypatrując się tabelce ze związkami funkcji trygonometrycznych i odwrotnych funkcji trygonometrycznych (z artykułu

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions

) pomyślałem, że ostrożnym trzeba być nie tylko przy funkcjach \(\displaystyle{ arcsec(x)}\) i \(\displaystyle{ arccsc (x)}\), ale właściwie przy każdym wyrażeniu dwóch funkcji gdzie występuje jakiś pierwiastek - w tabelce, którą mam przed oczyma chyba zakładają, że wyrażenie pod pierwiastkiem wyjdzie zawsze dodatnie, bo nigdzie nie piszą \(\displaystyle{ \pm}\).
Np. jest napisane, że \(\displaystyle{ sin(arccot (x)) = \frac{1}{ \sqrt{1+ x^{2} } }}\), ale wg mnie powinno być \(\displaystyle{ sin(arccot (x)) = \frac{1}{ \pm \sqrt{1+ x^{2} } }}\). Tok mojego rozumowania jest taki:
1. Dla ujemnych \(\displaystyle{ x}\) na wykresie funkcji \(\displaystyle{ arccot(x)}\) wartości funkcji zawarte są w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -\frac{ \pi }{2}, 0\right)}\).
2. Dla kątów z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -\frac{ \pi }{2}, 0\right)}\) na wykresie funkcji \(\displaystyle{ sin(x)}\) wartości funkcji są ujemne, jednak nie możemy otrzymać ujemnej wartości ze wzoru \(\displaystyle{ sin(arccot (x)) = \frac{1}{ \sqrt{1+ x^{2} } }}\), gdyż wynikiem pierwiastka może być tylko liczba dodatnia. Więc gdyby nasz \(\displaystyle{ x}\) był ujemny, a zastosowalibyśmy wzór bez \(\displaystyle{ \pm}\) to tak naprawdę obliczylibyśmy wartość \(\displaystyle{ sin(x)}\) dla przeciwnego (dodatniego) \(\displaystyle{ x}\)-a. Dlatego musimy postawić "\(\displaystyle{ -}\)" przed pierwiastkiem w tym przypadku, więc ogólny wzór ma postać \(\displaystyle{ sin(arccot (x)) = \frac{1}{ \pm \sqrt{1+ x^{2} } }}\).

Dobrze myślę?

[matmatmm]

1. Dla ujemnych \(\displaystyle{ x}\) na wykresie funkcji \(\displaystyle{ arccot(x)}\) wartości funkcji zawarte są w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -\frac{ \pi }{2}, 0\right)}\).

Nie jest to prawda. Dla ujemnych \(\displaystyle{ x}\) wartości \(\displaystyle{ \mbox{arccot}}\) są w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2},\pi\right)}\).

[Andrzej_WD]

Wygląda na to, że nasze nieporozumienie wynika... z innej definicji \(\displaystyle{ arccot}\)
Wpisałem w wyszukiwarkę "arccot graph" i rzeczywiście, są różne wykresy zależne od tego, które przedziały wybierzemy.




Wygląda na to, że Ty korzystasz z wykresu przedstawionego na pierwszym obrazku, a ja z drugiego.
Znalazłem trochę więcej do poczytania na ten temat, oto link:

Jednak wracając do toku rozumowania, który przedstawiłem, gdybyś mógł kontynuować jego sprawdzenie używając tej drugiej definicji \(\displaystyle{ arccot}\) byłbym bardzo wdzięczny.

[matmatmm]

Tak. Twoje rozumowanie jest dobre. Sytuacja jest więc podobna jak z \(\displaystyle{ \mbox{arcsec}}\).