Nierówność logarytmiczno-trygonometryczna

[filipdab]

\(\displaystyle{ 4\log _{16}\cos 2x+2\log _{4}\sin x+\log _{2}\cos x+3<0}\)

Czy pomoże ktoś to rozwiązać?

[a4karo]

Sprowadź wszystko do logarytmow przy podstawie 2

[mariusz2409]

Zrobiłbym to tak: najpierw sobie to wszystko porządkuję korzystam tu ze wzorku \(\displaystyle{ \log_{a^c}{b}=\frac{1}{c}\log_{a}{b}}\) co pozwala mi zapisać nierówność w postaci \(\displaystyle{ \log_{2}{\cos2x} +\log_{2}{ \sin x}+\log_{2}{\cos x}+3<0}\) Teraz trochę zabawy ze wzorami: \(\displaystyle{ \sin 2x = 2\sin x \cos x}\) oraz \(\displaystyle{ \log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(b \cdot c)}}\) Mamy: \(\displaystyle{ \log_{2}{\cos 2x} + \log_{2}{\frac{\sin 2x}{2}} + 3 < 0}\) Robimy to samo jeszcze raz mamy \(\displaystyle{ \log_{2}\frac{\sin 4x}{4} + 3 < 0}\) Teraz przenoszę 3 na lewą stronę i zamieniam ją na logarytm \(\displaystyle{ \log_{2}\frac{\sin 4x}{4} < \log_{2}{\frac{1}{8}}\) teraz wystarczy rozwiązać już prostą nierówność \(\displaystyle{ \frac{\sin 4x}{4} < \frac{1}{8}}\) (bo podstawy logarytmów są takie same i są większe od 1) \(\displaystyle{ \sin 4x < \frac{1}{2}}\) co daje nam odpowiedź \(\displaystyle{ \frac{-7 \pi}{24}+\frac{k \pi}{2}< x < \frac {\pi}{24}+\frac{k \pi}{2}}\) (mam nadzieje, że jest ok )

[Lider_M]

Trzeba pamiętać jeszcze o uwzględnieniu dziedziny.

[mariusz2409]

Ohhh jasne, trzeba jeszcze ograniczyć z dołu \(\displaystyle{ 0<\sin 4x < \frac{1}{2}}\) co nam daje \(\displaystyle{ \frac{k \pi}{2}< x <\frac{\pi}{24}+\frac{k \pi}{2}}\)

@Lider_M teraz jest ok ?

[Lider_M]

mariusz2409, dziedzinę uwzględniamy na samym początku.

Np. funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\ln x+\ln(x-1)}\) ma dziedzinę \(\displaystyle{ x>1}\), a gdybyś najpierw przekształcił \(\displaystyle{ f(x)=\ln(x^2-x)}\) i dopiero teraz wyznaczył dziedzinę nie otrzymałbyś poprawnego wyniku.

[mariusz2409]

OK znowu mój błąd, to mamy na początku \(\displaystyle{ \cos 2x > 0 \wedge \cos x>0 \wedge \sin x>0}\) ale co dalej ? liczyć część wspólną? (jeśli tak to jak? bo wolfram pokazuje odp z arctg)

[Lider_M]

Tak, liczyć część wspólną, wyjdą ładne kąty.

[mariusz2409]

\(\displaystyle{ \sin x > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( 2k\pi, 2k\pi + \pi \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos x > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( 2k\pi-\frac{\pi}{2}, 2k\pi+\frac{\pi}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos 2x > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( k\pi-\frac{\pi}{4}, k\pi+\frac{\pi}{4} \right)}\)

Z pierwszych dwóch nierówności mamy \(\displaystyle{ x \in \left( 2k\pi, 2k\pi+\frac{\pi}{2} \right)}\) ale nie wiem jak to zrobić z \(\displaystyle{ \cos 2x}\) jakaś wskazówka ?

[Lider_M]

Naszkicuj sobie na osi liczbowej i zaznacz część wspólną.