równania trygonometryczne

[matematyka464]

\(\displaystyle{ \cos \beta = \sin \alpha \\
\sin \beta = -\cos \alpha}\)
Jak można uzależnić betę od alfy i dlaczego?

[Ania221]

\(\displaystyle{ \cos \beta = \sin \alpha =\cos(90-\alpha)}\)
\(\displaystyle{ \beta=90-\alpha}\)
W drugim równaniu, podobnie skorzystaj ze wzorów redukcyjnych

[Marmat]

Korzystasz ze wzorów redukcyjnych.
Ponieważ kosinus przechodzi na sinus a sinus na kosinus, więc we wzorze musi być nieparzysta liczba dziewięćdziesiątek.
W grę wchodzą kąty: \(\displaystyle{ 90- \alpha , 90+ \alpha ,270- \alpha ,270+ \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos (90- \alpha )=\sin \alpha , \\ \sin (90- \alpha )=\cos \alpha}\)
odpada,
\(\displaystyle{ \cos (90+ \alpha )=-\sin \alpha , \\ \sin (90+ \alpha )=\cos \alpha}\) ,
odpada,
\(\displaystyle{ \cos (270- \alpha )=-\sin \alpha , \\ \sin (270- \alpha )=-\cos \alpha}\)
odpada,
\(\displaystyle{ \cos (270+ \alpha )=\sin \alpha , \\ \sin (270+ \alpha )=-\cos \alpha}\)
dobre.
Ostatecznie: \(\displaystyle{ \beta =270+ \alpha}\)
Pozdrawiam.

[bakala12]

Inny sposób, bez użycia wzorów redukcyjnych (bo stosowanie ich wcale nie uzasadnia, że to jedyna taka zależność, z resztą jest to raczej nie do końca poprawne):
\(\displaystyle{ \cos \beta - \sin \alpha =0 \\
\sin \left( \frac{\pi}{2}- \beta \right)-\sin \alpha =0 \\
2 \cdot \cos\left( \frac{ \frac{\pi}{2}- \beta + \alpha }{2} \right)\sin\left( \frac{ \frac{\pi}{2}- \beta - \alpha }{2} \right)=0 \\
\frac{ \frac{\pi}{2}- \beta + \alpha }{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi \vee \frac{ \frac{\pi}{2}- \beta - \alpha }{2}=k\pi \\
\beta = \alpha -\frac{\pi}{2}+2k\pi \vee \beta =\frac{\pi}{2}- \alpha -2k\pi}\)
Dla znalezionych zależności sprawdzamy drugie równanie i okazuje się, że tylko pierwsza zależność je spełnia. Stąd wynika, że:
\(\displaystyle{ \beta = \alpha -\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)