Nierówność trygonometryczna

[neron0308]

Napotkałem się na taką nierówność: \(\displaystyle{ \sin(x+y) \le \sin(x)+\sin(y)}\) .
Jak udowodnić tą nierówność?

[Premislav]

To nie zachodzi np. dla \(\displaystyle{ x=y= \frac{3}{2}\pi}\).

[Majeskas]

\(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin\left( 2\cdot \frac{x+y}{2} \right)=2\sin\left(\frac{x+y}{2} \right)\cos\left( \frac{x+y}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \sin x+\sin y=2\sin\left( \frac{x+y}{2} \right)\cos\left( \frac{x-y}{2} \right)}\)

Korzystając z tego, przerzucając wszystko na jedną stronę, a następnie wykorzystując jeszcze wzór na różnicę cosinusów dostajemy tę nierówność w postaci iloczynowej.

[neron0308]

No to może wzór ten jest poprawny nie dla każdego kąta. W zadaniu jakim spotkałem tą nierówność był przedział \(\displaystyle{ x,y \in [0, \pi ]}\)