Równanie trygonometryczne z sin i cos

renowero · Post autor: **renowero** » 13 maja 2007, o 17:44

\(\displaystyle{ 7 \sin x \cos x=5 \cos^2 x+ 2 \sin^2 x}\)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 13 maja 2007, o 19:14

Na przyszłość zapoznaj się z regulaminem ( temat "trygonometria" nic w związku z zadaniem konkretnego nie mówi) oraz z LaTeX-em. Co do równania:
\(\displaystyle{ 5 \cos^2 x - 7 \sin x cos x + 2 \sin^2 x=0 \\ 10cos^2 x - 14 \sin x \cos x +4 \sin^2 x=0 \\ (3 \frac{1}{2} \cos x)^2 - 2 3 \frac{1}{2} 2 \sin x \cos x + 4 \sin^2 x= 2 \frac{1}{4} \cos^2 x \\ ( 3 \frac{1}{2} \cos x -2 \sin x)^2= 2 \frac{1}{4} \cos^2 x \\ 3 \frac{1}{2} \cos x - 2 \sin x= 1 \frac{1}{2} \cos x 3 \frac{1}{2} \cos x - 2 \sin x= -1 \frac{1}{2} \cos x \\ \sin x = \cos x 2 \sin x= 5 \cos x}\)
Myślę, że z tymi dwoma równaniami już sobie poradzisz.

renowero · Post autor: **renowero** » 13 maja 2007, o 19:48

nie kumam dlaczego 10cos2x i dlaczego 4sin2x

Tristan · Post autor: **Tristan** » 13 maja 2007, o 21:23

Pomnożyłem obustronnie razy 2. Teraz poprawiłem, bo rzeczywiście zapomniałem o zapisaniu przemnożenia przez 7 Ale reszta rachunków jest poprawna.

renowero · Post autor: **renowero** » 13 maja 2007, o 21:25

no o to mi chodziło że 7 nbyło bez zmian ok dzięki

soku11 · Post autor: **soku11** » 13 maja 2007, o 21:34

Podlacze sie Jak rozwiazac to drugie rownanie?? To:
\(\displaystyle{ 2sinx=5cosx}\)
?? POZDRO

Hac_mi; · Post autor: **Hac_mi;** » 13 maja 2007, o 21:37

zredukować cos na sin i porównać argumenty ?

renowero · Post autor: **renowero** » 13 maja 2007, o 21:43

no właśnie mi wyszło coś innego ale nie wiem czy to ok

[ Dodano: 13 Maj 2007, 21:44 ]
mi wyszło zupełnie coś innego

Tristan · Post autor: **Tristan** » 13 maja 2007, o 22:50

renowero - a co Tobie wyszło?
Obawiam się, że z równania \(\displaystyle{ 2 \sin x = 5 \cos x}\) nie dostaniemy takich "ładnych" wyników, jakich byśmy chcieli, a jedynie przybliżone. Wcześniej nie przypatrzyłem się temu równaniu uważnie. Jeśli ktoś będzie zainteresowany, mogę podać metodę wyznaczenia tych przybliżonych wyników, ale to już jutro

renowero · Post autor: **renowero** » 14 maja 2007, o 11:12

mi wyszło
cosx-sinx=0 ; 5cosx-2sinx=0

Tristan · Post autor: **Tristan** » 14 maja 2007, o 22:18

renower - nie widzę żadnej rozbieżności między naszymi wynikami. A co do równania \(\displaystyle{ 2 \sin x = 5 \cos x}\) to podam jak rozwiązać równanie ogólniejsze, mianowicie \(\displaystyle{ a \sin x + b \cos x =c}\).
Niech \(\displaystyle{ a b 0}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ a \sin x + b \cos x = c \\ a 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + b ( \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})=c( \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) \\ (b+c) \sin^2 \frac{x}{2} - 2a \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} -(b-c) \cos^2 \frac{x}{2}=0}\)
1. \(\displaystyle{ b+c 0}\)
Dzieląc rónanie przez \(\displaystyle{ \cos^2 \frac{x}{2}}\) mamy:
\(\displaystyle{ (b+c) tg^2 \frac{x}{2} - 2a tg \frac{x}{2} -(b-c)=0 \\ tg \frac{x}{2}= \frac{ a \sqrt{a^2+b^2 -c^2 } }{b+c}}\)
2. \(\displaystyle{ b+c=0}\)
Wyłączając \(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2}}\) przed nawias, mamy
\(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2} (2a \sin \frac{x}{2} + (b-c) \cos \frac{x}{2} )=0 \\ \cos \frac{x}{2}=0 tg \frac{x}{2}=\frac{c-b}{2a}}\)

renowero · Post autor: **renowero** » 18 maja 2007, o 22:07

dzięki bardzo to super dzięki za czarne na białym,pozdrawiam jeszcze raz dzęki.