M.in. oblicz dziedzinę arcsin

[Arnhus]

Wyznacz dziedzinę funkcji:
\(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} } \right)}\)

Pokaż, że \(\displaystyle{ f \left( x \right)}\) jest równe \(\displaystyle{ g \left( x \right) = \arctan \left( x \right)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR}\)

Proszę o pomoc.

[Mathix]

Wydaje mi się, że będzie to tak:
\(\displaystyle{ \left |\frac{x}{ \sqrt{1+x^2} }\right | \le 1 \ |\uparrow^2 \\ \frac{x^2}{1+x^2} \le 1 \\ x^2 \le 1+x^2 \\ 0 \le 1}\)
Zatem dziedziną funkcji jest \(\displaystyle{ x \in \RR}\).

[Kartezjusz]

Dobrze się wydaje Mathix.
ustalmy,że dla jakiegoś kąta \(\displaystyle{ y}\)
\(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{x}{ \sqrt{1+x^{2}} } \right) =y}\)
Wówczas \(\displaystyle{ y=\sin \left( \frac{x}{ \sqrt{1+x^{2}}} \right)}\)Wiedząc to wyznaczyć tangens i odwrócić

[Arnhus]

Dzięki wielkie za wyznaczenie dziedziny.
Dlaczego \(\displaystyle{ y = \arcsin \left( \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} } \right) = \sin \left( \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} } \right)}\) ?
o,o

[Mathix]

Może tak :
\(\displaystyle{ \sin y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \sin^2 y=\frac{x^2}{1+x^2} \\ \frac{1}{\sin^2 y}=\frac{1}{x^2}+1}\)
Teraz druga funkcja:
\(\displaystyle{ \tg z =x \\ \frac{1}{x^2}=\frac{1}{\tg^2 z}}\)
Wstawiając do pierwszego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin^2 y}=\frac{1}{\tg^2 z}+1 \\ \frac{1}{\sin^2 y}=\frac{\cos^2 z}{\sin^2 z}+1 \\ \frac{1}{\sin^2 y}=\frac{\cos^2 z +\sin^2 z}{\sin^2 z} \\ \frac{1}{\sin^2 y}=\frac{1}{\sin^2 z} \\ \sin^2 z=\sin^2 y}\)
Z tego:
\(\displaystyle{ z=y}\)

[miodzio1988]

Mathix, przemysl swoje zapiski, bo poki co jest mocno słabo. Np ostatnie wynikanie to jest bzdura

[Mathix]

Właśnie nie wiedziałem, czy w ogóle to dobrze robię. Według mnie powinno być na końcu:
\(\displaystyle{ \sin z =\sin y \vee \sin z=-\sin y}\)
Z tego:
\(\displaystyle{ z=y+2k\pi \vee z=\pi-y+2k\pi \vee z=-y+2k\pi \vee z=\pi+y+2k\pi}\), ale trzeba udowodnić, że \(\displaystyle{ z=y}\).

[Kartezjusz]

Pamiętasz zadania typu " masz sinus-wyznacz tangens"

[Mathix]

Podejście nr 2:
\(\displaystyle{ \sin y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \sin^2 y=\frac{x^2}{1+x^2} \\ 1-\cos^2 y =\frac{x^2}{1+x^2} \\ \cos^2 y=\frac{1}{1+x^2} \\ \frac{\sin^2 y}{\cos^2 y}=\frac{x^2}{1+x^2}\cdot \frac{1+x^2}{1} \\ \tg^2 y=x^2 \\ \tg y=x \vee \tg y=-x}\)
Z tego wychodzi \(\displaystyle{ y= \pm \arctan(x)}\)
Gubię jakieś założenie?