Równanie trygonometryczne z parametrem

[Narufirefox]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m, m \in R}\), rówananie

\(\displaystyle{ m^{2} - 1 = \frac{\sin x}{2} + \frac{ \sin ^2x{} }{4} + \frac{ \sin ^3x{} }{8} + \frac{ \sin ^4x{} }{16 } + ...}\)

ma rozwiązanie?

Mógłby mi ktoś pomóc ?

[matematyk1995]

Po prawej stronie mamy szereg geometryczny.

[Narufirefox]

Tak, to zauważyłem. Po wyliczeniu ilorazu wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{2}}\) Ale co później ?

[matematyk1995]

Podstawiasz do wzoru na sumę i otrzymujesz zwykłe równanie z parametrem.

[Narufirefox]

Suma to będzie \(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \sin ^2x{} }{4} }{1 - \frac{\sin x}{2} }}\) ?

[Mathix]

Suma:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{\sin x}{2}}{1-\frac{\sin x}{2}}=\frac{\sin x}{2-\sin x}}\)
Teraz tak przekształć równanie, aby z jednej strony został tylko \(\displaystyle{ \sin x}\), następnie skorzystaj z faktu: \(\displaystyle{ |\sin x| \le 1}\)

[matematyk1995]

Zrób tak jak napisał Mathix

[Narufirefox]

Coś takiego ?

\(\displaystyle{ \left| ( m - 1)(m+1)(2 - \sin x)\right| \le 1}\)

[matematyk1995]

Nie. Wyznacz \(\displaystyle{ \sin x}\) w zależności od parametru m.


Powinieneś otrzymać:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sin x= \frac{2m^2-2}{m^2}}\)i w tym miejscu korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ |\sin x| \le 1}\)

[Narufirefox]

Mógłbyś rozpisać ?

[matematyk1995]

Zobacz post wyżej.

[Narufirefox]

Jakoś nie chce mi to wychodzić :/ Rozpiszesz ?

[matematyk1995]

Pokaż jak liczysz, poprawię błędy.

[Narufirefox]

\(\displaystyle{ \frac{ \sin x}{2 - \sin x} = m^{2} - 1}\)

I jak później przemnożyć mi chyba nie wolno a jak przeniosę na drugą stronę i sprowadzę to nie wychodzi :<

[Mathix]

Masz coś takiego:
\(\displaystyle{ m^2-1=\frac{\sin x}{2-\sin x} \\ 1-m^2=\frac{2-\sin x -2}{2-\sin x} \\ 1-m^2=1-\frac{2}{2-\sin x} \\ \frac{2}{m^2}=2-\sin x \\ \frac{2m^2-2}{m^2}=\sin x}\)
Tylko trzeba najpierw sprawdzić, czy dla \(\displaystyle{ m=0}\) równanie ma rozwiązanie, bo nie można dzielić przez 0.-- 11 maja 2014, o 19:17 --Można też inaczej do tego dojść:
\(\displaystyle{ m^2-1=\frac{\sin x}{2-\sin x}\ |\cdot (2-\sin x) \\ (m^2-1)(2-\sin x)=\sin x \\ 2m^2-m^2\sin x -2+\sin x=\sin x \\ 2m^2-2=m^2\sin x \\ \sin x=\frac{2m^2-2}{m^2}}\)

Tylko trzeba najpierw sprawdzić, czy dla \(\displaystyle{ m=0}\) równanie ma rozwiązanie, bo nie można dzielić przez 0.