rownania trygonometryczne

[dj600vo]

Pomocy nie wiem jak to zacząć.
Rozwiąż równania:
1. \(\displaystyle{ \cos ^{2}x -3\sin x\cos x+1=0}\)
2. \(\displaystyle{ \cos 2x - 3\cos x - 4\cos ^{2}x= 4\sin ^{2} x}\)

[Poszukujaca]

Możesz wykorzystać wzory z funkcjami trygonometrycznymi, tak, by w jednym równaniu została Ci jedan z tych funkcji.
Wydaje się, że przydatna będzie jedynka trygonometryczna:
\(\displaystyle{ \sin^{2}x+\cos^{2}x=1}\)
oraz wzór na podwojonego sinusa:
\(\displaystyle{ \sin2x=2 \cdot \sin x \cos x}\)

[matematyk1995]

1. Przemnożyć razy dwa, szukać wzorów na podwojony argument sinusa i cosinusa
2. Rozpisać \(\displaystyle{ \cos 2x}\) i zamienić \(\displaystyle{ \sin ^2 x}\) z jedynki. Podstawić zmienną: \(\displaystyle{ t= \cos x}\) ( nie zapomnieć o dziedzinie \(\displaystyle{ t}\) )

[dj600vo]

Proszę bardzo o rozwiązanie,nie idzie mi to w ogóle.

[matematyk1995]

Zacznę pierwszy przykład: \(\displaystyle{ \cos ^{2}x -3\sin x\cos x+1=0 \Leftrightarrow 2\cos ^{2}x -3 \cdot (2\sin x\cos x)+2=0}\)

Wiadomo, że: \(\displaystyle{ 2\sin x\cos x =\sin 2x}\) i \(\displaystyle{ 2 \cos ^2 x - 1 = \cos 2x}\)

Podstawiając otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \cos 2x -3\sin 2x + 3=0 \Leftrightarrow \cos 2x + 3=3\sin 2x}\)

Teraz podnosimy obustronnie do kwadratu( przy założeniu, że \(\displaystyle{ \sin 2x \ge 0}\)), i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \cos^2 2x +6 \cos 2x +9= 9 \sin^2 2x}\) Zamieniamy z jedynki i mamy.
\(\displaystyle{ \cos^2 2x +6 \cos 2x +9= 9-9 \cos^2 2x}\)

Po uporządkowaniu otrzymujemy: \(\displaystyle{ 10 \cos^2 2x+6 \cos 2x =0}\)

Z tym sobie już chyba poradzisz.

Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem.

[dj600vo]

Tam chyba jest \(\displaystyle{ 10\cos ^{2} 2x}\) tylko że potem wychodzi po wyłączeniu \(\displaystyle{ \cos 2x= \frac{-2}{3}}\) i jest problem

[matematyk1995]

Poprawiłem literówkę.

Wychodzi \(\displaystyle{ \cos 2x = - \frac{3}{5} \vee \cos 2x = 0}\)

[dj600vo]

nie wiem jak zrobić to z \(\displaystyle{ - \frac{3}{5}}\)

[matematyk1995]

Jedyne co mi przychodzi do głowy to zrobić tak:

\(\displaystyle{ \cos 2x=- \frac{3}{5} \Leftrightarrow 2 \cos^2 x -1 = - \frac{3}{5} \Leftrightarrow \cos^2 x= \frac{1}{5} \Leftrightarrow |\cos x|= \frac{ \sqrt{5}}{5}}\)

Czyli \(\displaystyle{ x= \pm \arccos \frac{ \sqrt{5}}{5} + 2k \pi}\)

Dobrze by było jakby ktoś to jeszcze sprawdził, bo mogłem się pomylić przy liczeniu.

[Mathix]

Moja propozycja rozwiązania:
\(\displaystyle{ \cos^2 x-3\sin x \cos x +1=0 \\ \cos^2 x-3\sin x \cos x+ \cos^2 +\sin^2 x=0 \\ 2\cos^2 x-3\sin x\cos x +\sin^2 x=0 \\ (2\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x)=0 \\ 2\cos x=\sin x \vee \cos x=\sin x}\)
Z pierwszego równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \tg x=2 \\ x=\arctg (2) + k\pi}\)
Z drugiego równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \tg x =1 \\ \tg x=\tg \frac{\pi}{4} \\ x=\frac{\pi}{4}+k\pi}\)