wartości funkcji trygonometrycznych

[Loony04]

Wiedząc, że
\(\displaystyle{ \tg ^{2} \alpha -4 = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha\in\left\langle - \frac{ \pi }{4}; \frac{3}{4} \pi\right\rangle}\)
oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Jak się za to zabrać, co mam w ogóle tu obliczyć. Namalowałem sobie wykres tego ale nie wiem co z tym zrobić. Może skorzystać z tego, że tangens to stosunek sinusa do cosinusa. Nie wiem jak się za to zabrać.

[Kartezjusz]

Zauważ,że to jest równanie trygonometryczne.

[Dilectus]

Rozwiąż najpierw r-nie

\(\displaystyle{ \tg ^{2} \alpha -4 = 0}\)

Podstaw pomocniczą niewiadomą \(\displaystyle{ t=\tg \alpha}\)

Wyjdzie Ci, że

\(\displaystyle{ \tg } \alpha = \pm 2}\)

Pamiętając o dziedzinie, wylicz \(\displaystyle{ \alpha}\) i pozostałe funkcje trygonometryczne tego kąta.

[Loony04]

Hmm no faktycznie można to tak podstawić, ale nie wiem co dalej. Dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych, ale tutaj to będzie ten przedział z polecenia chyba. Jak wyliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne?

[Kartezjusz]

jak liczyłeś podobne zadanie przy tangensie danym wprost. Gdzie problem?

[Loony04]

\(\displaystyle{ \tg } \alpha = \pm 2}\)

Ze wzoru:
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \pm 2}\)

Założenie:
\(\displaystyle{ \cos \alpha \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = 2\cos \alpha}\)

Tak czy inaczej? Ale pewnie inaczej.

[Kartezjusz]

dołóż jedynkę trygonometryczną. Układ równań i nara

[Loony04]

Hmm no to
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \pm \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos^{2}\alpha = -1}\)

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \pm 2 \Leftrightarrow \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =2 \vee \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-2}\)

Popatrzmy na pierwsze równanie:

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=2}\)

Pamiętajmy też o dziedzinie:

\(\displaystyle{ \alpha\in\left\langle - \frac{ \pi }{4}; \frac{3}{4} \pi\right\rangle}\)

Zbuduj trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b=2a}\)
Tangens jednego z kątów tego trójkąta jest równy 2. Jego przeciwprostokątną \(\displaystyle{ C}\) znajdujesz z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ c= a \sqrt{5}}\)

w takim razie

\(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{b}{c} = \frac{2a}{a \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{a}{a \sqrt{5}}= \frac{\sqrt{5}}{5}}\)

Teraz drugie równanie:

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-2}\)

Tu dobrze jest posłużyć się funkcjami trygonometrycznymie wyrażonymi przy pomocy tangensa połowy kąta

1. \(\displaystyle{ \sin x=\frac{2 \mbox{tg}\frac{x}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}}\)

2. \(\displaystyle{ \cos x=\frac{1-\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}}\),

3. \(\displaystyle{ \mbox{tg} x=\frac{2\mbox{tg}\frac{x}{2}}{1-\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}}\)

Znając tangens kąta, możesz policzyć tangens jego połowy (patrz wzór 3.), a potem pozostałe funkcje trygonometryczne tego kąta.

[Kartezjusz]

Jedynka trygonometeryczna to \(\displaystyle{ \sin ^{2} x + \cos ^{2} y =1}\)