Równanie z parametrem oraz wykres

[wagabu]

Witam
Motam się długo z dwoma problemami.
1. Jak zbadać, dla jakich parametrów m istnieje rozwiązanie równania:
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \sin x + \cos x=m}\)
2. Jak naszkicować wykres funkcji:
\(\displaystyle{ \cos x - \sqrt{3} \sin x}\)
Błagam o podpowiedzi.

[Ania221]

1. Podziel obustronnie przez \(\displaystyle{ 2}\)
Skorzystaj ze wzoru na sinus sumy.

2. Też podziel każdy wyraz przez \(\displaystyle{ 2}\) i wzór na cosinus sumy

[wagabu]

Dziękuję, ale nie wiem co dalej
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} \sin x+ \frac{1}{2} \sin \left( \frac{ \pi }{2}+x \right) = \frac{1}{2} m}\)

[piasek101]

Czy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt 3}{2}}\) albo \(\displaystyle{ 0,5}\) z niczym Ci się nie kojarzą ?

[wagabu]

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} =\sin \frac{ \pi }{3}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=\sin \frac{ \pi }{6}}\)

[Ania221]

No tak
Ale we wzorze masz \(\displaystyle{ \sin\cos}\)plus lub minus\(\displaystyle{ \cos\sin}\)
Czyli musisz te drugie funkcje wziąć, tak żeby dopasować do wzoru

[wagabu]

Niestety coś muszę robić, źle. Nie dochodzę do rozwiązania Nie dam rady.

Ponad to mam pytania, czy dobrze są zrobione poniższe zadania? Nie mam pewności, czy jest OK.

3. Oblicz:
\(\displaystyle{ 8sin \frac{2 \pi }{3} tg \frac{5 \pi }{3} = 8 \cdot sin(2 \cdot 60^0) \cdot tg(5 \cdot 60^0)=8 \cdot 2 \cdot sin60^0 \cdot cos60^0 \cdot tg(270^0+30^0)=8 \cdot 2 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-ctg30^0)=4 \sqrt{3} \cdot (- \sqrt{3})=-12}\)

4. Sprawdź tożsamość trygonometryczną

\(\displaystyle{ $sin^2( \frac{7 \pi }{2}-x)+ \frac{1-cosx}{2}-sin2x=(cosx-sinx)^2$\\\\
$sin^2( \frac{3 \pi }{2}-x)+ \frac{1}{2}- \frac{1}{2}cosx-2sinxcosx=cos^2x-2sinxcosx+sin^2x$\\\\
$cos^2x+ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cosx-2sinxcosx=cos^2x-2sinxcosx+sin^2x$\\\\
$ \frac{1}{2}- \frac{1}{2}cosx=sin^2x$\\\\
$\frac{1}{2}- \frac{1}{2}cosx=1-cos^2x$\\\\
$L \neq P}\)
czyli to nie jest tożsamość trygonometryczna.

5.Rozwiąż nierówność:

\(\displaystyle{ sinx>cosx}\)
Tutaj po prostu narysowałam oba wykresy i odczytałam w jakich przedziałach sinx>cosx. Otrzymałam taki wniosek:
\(\displaystyle{ x \in ( \frac{ \pi }{4}+2k \pi ; \frac{5 \pi }{4}+2k \pi ), k \in C}\)

6.Naszkicuj wykres funkcji
\(\displaystyle{ cosx ^{ \sqrt{\left| cosx\right| -1} }}\)
Zrobiłam założenie dotyczące wykladnika potęgi, czyli, że \(\displaystyle{ x \in k \pi , k \in C}\)
Czy powinnam zrobić założenie dotyczące podstawy potęgi, że \(\displaystyle{ cosx \neq 0}\) czy \(\displaystyle{ cosx>0?}\)
Wydaje mi się, że dla \(\displaystyle{ x \in k \pi}\) mamy, że \(\displaystyle{ f(x)=1 ^{ \sqrt{1}-1 } =1^0=1}\)
To by oznaczało, że wykresem będzie zbiór punktów o współrzędnych \(\displaystyle{ (k \pi ;1)}\)

[Kartezjusz]

1.zapisz te liczby,które masz za pomocą sinusów jakiś tam kątów, a potem porównaj ze wskazówką Ani221
Bardzo dobrze.

[Ania221]

\(\displaystyle{ \sqrt{3} \sin x + \cos x=m}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x= \frac{1}{2} m}\)
\(\displaystyle{ \cos30sinx+\sin30cosx= \frac{1}{2} m}\)
\(\displaystyle{ \sin(30+x)=\frac{1}{2} m}\)

\(\displaystyle{ -1<\frac{1}{2} m<1}\)

Spróbuj analogicznie zrobić przykład 2, ale najpierw tak to zapisz

\(\displaystyle{ f(x)=\cos x - \sqrt{3} \sin x}\)

\(\displaystyle{ \frac{f(x)}{2}= \frac{1}{2} \cos x - \frac{ \sqrt{3} }{2} \sin x}\)

[Kartezjusz]

Świetnie!

[Ania221]

Trzecie dobrze.
Czwarte wygląda, że dobrze.
Reszta też dobrze.
Czy nie masz na końcu zbioru podanych odpowiedzi? warto tam zaglądać.

[wagabu]

Dziękuję stokrotnie Aniu Jesteś wielka!
Nie mam odpowiedzi, dostaliśmy serię zadań do zrobienia i tyle
Zastanawia mnie najbardziej to ostatnie zadanie z wykresem (6).

[piasek101]

W tym 6 podstawa powinna być w nawiasie - literówka w zbiorze.