Równanie trygonometryczne - matura rozszerzona.

[ip6941]

\(\displaystyle{ 4\cos ^{3}x -4\sin ^{2} x -3\cos x + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ x \in <0;2 \pi >}\)

\(\displaystyle{ 4\cos ^{3}x -4(1 - \cos ^{2}x) -3\cos x + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ 4\cos ^{3}x -4 + 4\cos ^{2}x - 3\cos x + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ 4\cos ^{3}x + 4\cos ^{2}x - 3 \cos x -3 = 0}\)
\(\displaystyle{ 4\cos ^{2}x(\cos + 1) -3(\cos x - 1) = 0}\)
\(\displaystyle{ (4\cos ^{2}x - 3)(\cos x + 1) = 0}\)


\(\displaystyle{ \cos x = \frac{ \sqrt{3} }{2} \wedge \cos x = -1}\)

Moje rozwiązania to:\(\displaystyle{ x= \pi, x= \frac{ \pi }{6}, x= \frac{11 \pi }{6}}\)

Rozwiązania w zbiorze zadań to: \(\displaystyle{ x= \pi, x= \frac{ \pi }{6}, x= \frac{11 \pi }{6}, x= \frac{5 \pi }{6}, x= \frac{7 \pi }{6}}\)



Mam proste py an ie: gdzie jest błąd?


Pozdrawiam

[Zahion]

W samym zapisie masz błąd, mianowicie ostatnia linijka rozwiązywania, napisałeś \(\displaystyle{ -3(cosx-1)}\) powinno być \(\displaystyle{ +1}\) ale to tylko literówka, bo pózniej poprawiasz. Natomiast masz warunek, że \(\displaystyle{ 4cos^{2}x - 3 = 0}\) czyli \(\displaystyle{ cos^{2}x = \frac{3}{4}}\) pierwiastkując masz, że zachodzi \(\displaystyle{ |cosx|= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) czyli \(\displaystyle{ cosx = -\frac{ \sqrt{3} }{2} \vee cosx = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), nie masz pierwszej równości.

[ip6941]

Wielkie dzięki!

[Mathix]

Żeby nie rozpatrywać przypadków:
\(\displaystyle{ 4\cos^{2}x - 3 = 0 |:2 \\ 2\cos^2x=\frac{3}{2} \\ 2\cos^2x-1=\frac{3}{2}-1 \\ \cos2x=\frac{1}{2} \\ \cos2x=\cos{\frac{\pi}{3}} \\ 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ 2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi}\)

[ip6941]

Dzięki, również fajny sposób, poćwiczę go trochę przed piątkiem .