Równanie trygonometryczne z parametrem

[tomcio1243]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie ma rozwiązanie
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x + \sin x + m = 0 \\ t = \sin x \\ t^{2} + t + m = 0 \\ \Delta \ge 0 \\ 1 - 4m \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{1}{4} \\ \\ f(1) \ge 0 \\ m \ge - 2 \\ m \in\left\langle-2;\frac{1}{4}\right\rangle}\)
Rozwiązanie znalezione na forum, a moje pytanie brzmi dleczego nie uwzględniam \(\displaystyle{ f(-1) \ge 0}\)?
Dziękuję za pomoc

[Mathix]

Według mnie warunki, aby równanie miało rozwiązanie powinny być następujące:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(-1)<0 \\ f(1) \ge 0 \end{cases} \vee \ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(1)<0 \\ f(-1) \ge 0 \end{cases} \vee \ \begin{cases} \Delta \ge 0 \\ -1 \le x_w \le 1 \\ f(1) \ge 0 \\ f(-1) \ge 0 \end{cases}}\)

[tomcio1243]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(-1)<0 \\ f(1) \ge 0 \end{cases} \vee \ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(1)<0 \\ f(-1) \ge 0 \end{cases}}\)
Skąd te dwa?

[matematyk1995]

Najprostszym sposobem rozwiązywania takich zadań jest przekształcenie: \(\displaystyle{ \sin ^{2}x + \sin x + m = 0 \Rightarrow \sin ^{2}x + \sin x = -m}\)

Po lewej stronie mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sin ^{2}x + \sin x}\)
Badamy jej zbiór wartości i mamy dla jakich \(\displaystyle{ m}\), powyższe równanie ma rozwiązanie.

[Mathix]

\(\displaystyle{ -1 \le t \le 1}\)
Ze względu na przedział ograniczający \(\displaystyle{ t}\). Żeby równanie \(\displaystyle{ t^2+t+m=0}\) miało rozwiązanie, to wykres funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t^2+t+m}\) musi przeciąć co najmniej raz oś \(\displaystyle{ Ot}\) w przedziale \(\displaystyle{ t \in \left\langle -1;1\right\rangle}\).

matematyk1995, racja ten sposób jest lepszy. Podobny temat był ostatnio dyskutowany tutaj.