Równanie trygonometryczne z parametrem k

[radi0aktywna]

Witam, mam do rozwiązania zadanko:

Dla jakich wartości parametru k równanie \(\displaystyle{ 3\cos ^{2}x - 2\cos x +2 = \left| k+1 \right| - 7}\)

ma rozwiązanie?

Mi wyszło że \(\displaystyle{ k \in \left\langle \frac{31}{3} , + \infty \right\rangle}\)

[Mathix]

Pokaż jak rozwiązujesz.

[radi0aktywna]

\(\displaystyle{ \cos x=t}\)
\(\displaystyle{ 3t^{2} -2t + 2 = \left| k +1\right| - 7}\)
P.1
\(\displaystyle{ 3t^{2} - 2t +9 = k + 1}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - 2t + 8 - k = f \left( x \right)}\)
\(\displaystyle{ \Delta\ge 0 \Rightarrow k \ge \frac{23}{3}}\)
P.2
\(\displaystyle{ -3t^{2} + 2t - 9 = k + 1}\)
\(\displaystyle{ -3t^{2} + 2t -10 - k = f \left( x \right)}\)

\(\displaystyle{ \Delta\ge 0 \Rightarrow k \ge \frac{31}{3}}\)

Cz. wspólna rozwiązań \(\displaystyle{ k \in \left\langle\frac{31}{3}, + \infty \right)}\)

[piasek101]

Mało tu widać.

Ale (t) jest z określonego przedziału - tego nie wzięłaś pod uwagę.

[radi0aktywna]

Tak, przepraszam za nieczytelnosc.
\(\displaystyle{ t \in \left\langle1,1\right\rangle}\)

[Mathix]

Podpowiedź:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ t=\cos \alpha \\ -1 \le t \le 1}\)
Zastanów się jakie wartości największą i najmniejszą przyjmie funkcja \(\displaystyle{ f(x)=3t^2-2t+2}\)

[radi0aktywna]

Najmniejszą wartość przyjmie w wierzchołku funkcji?

[Mathix]

Tak, gdyż \(\displaystyle{ \Delta<0}\).

[radi0aktywna]

A największą w \(\displaystyle{ -1}\)? Troche to dla mnie niejasne, bo parabola jest skierowana ramionami w górę,
\(\displaystyle{ f(-1)=7}\) a \(\displaystyle{ f(1)=3}\)

[Mathix]

Tak największą wartością jest \(\displaystyle{ f(-1)=7}\).

[radi0aktywna]

Czyli \(\displaystyle{ t \in \left\langle \frac{5}{3} , 7 \right\rangle}\) ?

[Mathix]

Nie, \(\displaystyle{ f(x) \in \left\langle \frac{5}{3} , 7 \right\rangle}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{5}{3} \le |k+1|-7 \le 7}\)

[radi0aktywna]

Tak, już do tego doszłam. A reszta moich obliczeń jest dobra? Mam na myśli tą wcześniejszą?
Wydaję mi się, że jesli dobrze zrozumiałam, to teraz wystarczy rozwązać te 2 nierówności a następnie podać część wspólną-- 1 maja 2014, o 20:59 --Czy warunek delty wiekszej od zera nie jest juz konieczny?

[Mathix]

1. Nie do końca, ze względu na przedział ograniczający \(\displaystyle{ t}\). Żeby równanie np. \(\displaystyle{ 3t^2-2t+8-k=0}\) miało rozwiązanie, to wykres funkcji \(\displaystyle{ f(t)=3t^2-2t+8-k}\) musi przeciąć co najmniej raz oś \(\displaystyle{ Ot}\) w przedziale \(\displaystyle{ t \in \left\langle -1;1\right\rangle}\).

2. O deltę, w którym miejscu Ci chodzi?

[radi0aktywna]

\(\displaystyle{ t^{2} - 2t + 8 - k = f(x) \\
\Delta\ge 0}\)
oraz

\(\displaystyle{ t^{2} - 2t -10 - k = f(x) \\
\Delta\ge 0}\)