uzasadnij pole.

[AndrzejK]

Dany jest trójkąt, w którym kąt między bokami o długościach \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 2x}\) ma miarę \(\displaystyle{ 120}\) stopni. Uzasadnij, że pole tego trójkąta jest dwukrotnie większe od pola trójkąta równobocznego o długości \(\displaystyle{ x}\).

Uwaga: Można używać funkcji trygonometrycznych, ale tylko tych w trójkącie prostokątnym. Gdybyśmy mogli większe, to wychodzi od razu, a tak to nie wiem co zrobić.

[pyzol]

Narysuj sobie dwa sklejone trójkąty równoboczne, otrzymasz romb. Pojawi się tam trójkąt rozwartokątny o kącie rozwartym 120 stopni. Łatwo zauważyć, że jego pole i pole trójkąta równobocznego są równe. Dalej to tylko przedłużenie podstawy, gdzie wysokość się nie zmienia...

[AndrzejK]

Narysuj sobie dwa sklejone trójkąty równoboczne, otrzymasz romb. Pojawi się tam trójkąt rozwartokątny o kącie rozwartym 120 stopni. Łatwo zauważyć, że jego pole i pole trójkąta równobocznego są równe.

do tego momentu rozumiem, ale jak to wykazać? I co dalej?

[pyzol]

\(\displaystyle{ \pagestyle{empty}
\begin{document}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.19,-0.11)(5.7,4.56)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(1,1.5)(2,0)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,1.5)(3,1.5)(2,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(1,1.5)
\psline[linecolor=zzttqq](1,1.5)(2,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,0)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](1,1.5)(3,1.5)
\psline[linecolor=zzttqq](3,1.5)(2,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,0)(1,1.5)
\psline(3,1.5)(5,1.5)
\psline(5,1.5)(0,0)
\psline(0,0)(0,1.5)
\psline(0,1.5)(1,1.5)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,0)
\rput[bl](0.03,0.05){\xdxdff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1.5)
\rput[bl](1.03,1.55){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](2,0)
\rput[bl](2.03,0.05){\xdxdff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,1.5)
\rput[bl](3.03,1.55){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,1.5)
\rput[bl](5.03,1.55){\blue{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,1.5)
\rput[bl](0.03,1.55){\xdxdff{$F$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{document}}\)
Mniej więcej chodzi o taki rysunek. Trójkąt \(\displaystyle{ ABD}\) jest dwa razy mniejszy od trójkąta \(\displaystyle{ ABE}\). Gdyż podstawa \(\displaystyle{ BD}\) jest 2 razy mniejsza od podstawy \(\displaystyle{ BE}\) natomiast mają one tę samą wysokość \(\displaystyle{ FA}\)

[AndrzejK]

OK, a co z równobocznym? Skąd wiemy, że trójkąt \(\displaystyle{ ABD}\), który nie jest równoboczny, ma takie samo pole jak trójkąt \(\displaystyle{ ACB}\)?

[pyzol]

Narysuj przekątne rombu.

[AndrzejK]

Narysowałem i próbowałem to podzielić na 4 pola i tymi polami udowodnić ale nie wychodzi mi...

[pyzol]

Ale co tu do udowadniania. Masz 4 przystające trójkąty prostokątne. Trójkąt równoboczny jak i trójkąt z kątem o mierze \(\displaystyle{ 120^o}\) można złożyć z dwóch takich trójkątów. Więc muszą mieć takie same pola.