dla jakich p

[cytrynka114]

Dla jakich wartości parametru p równanie \(\displaystyle{ (2\sin x-1)(\cos x-p+1)}\) ma w zbiorze \(\displaystyle{ <0,2 \pi >}\) dokładnie dwa rozwiązania?

[virtue]

Źle wskoczyło ale widzę że rozwiązanie już jest:)

[loitzl9006]

rozwiązania są co najmniej dwa: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}6}\) oraz \(\displaystyle{ x=\frac{5\pi}6}\) ze względu na pierwszy nawias (z sinusem). Aby równanie miało dwa rozwiązania, to z drugiego nawiasu rozwiązań nie może być w ogóle. Czyli równanie \(\displaystyle{ \cos x-p+1=0}\) ma być równaniem sprzecznym, a będzie tak gdy \(\displaystyle{ p\in\left( -\infty; \ 0\right) \cup \left( 2; \ +\infty\right)}\)

[cytrynka114]

Dopiero teraz zauważyłam, że to jest w złym dziale. czy jak już uzyskałam odpowiedź to mogę to jakoś usunąć?

[loitzl9006]

Nie kasujmy, zostanie dla potomnych a działu złego nie zauważyłem szczerze mówiąc. Już przenoszę

[bartek118]

rozwiązania są co najmniej dwa: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}6}\) oraz \(\displaystyle{ x=\frac{5\pi}6}\) ze względu na pierwszy nawias (z sinusem). Aby równanie miało dwa rozwiązania, to z drugiego nawiasu rozwiązań nie może być w ogóle. Czyli równanie \(\displaystyle{ \cos x-p+1=0}\) ma być równaniem sprzecznym, a będzie tak gdy \(\displaystyle{ p\in\left( -\infty; \ 0\right) \cup \left( 2; \ +\infty\right)}\)

Należałoby jeszcze uwzględnić sytuację, gdy rozwiązania z pierwszego nawiasu pokrywają się z rozwiązaniami z drugiego.

[loitzl9006]

Dzięki za uwagę.
Myślałem nad tym, ale tak (dla żadnego \(\displaystyle{ p}\) ) nie będzie

[bartek118]

Może się mylę w rachunkach, ale np. dla \(\displaystyle{ p = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}\) tak jest.

[loitzl9006]

Ale dla takiego \(\displaystyle{ p}\) które podałeś pokrywa się tylko jedno rozw. \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}6}\). A drugie jest inne, \(\displaystyle{ x=\frac{11\pi}{12}}\). Czyli razem będą trzy rozwiązania.
Podobnie jest dla \(\displaystyle{ p=1-\frac{\sqrt3}2}\).

[bartek118]

OK, faktycznie, masz rację. Przepraszam za wprowadzenie w błąd