Jak wyznaczyć -cos3x znając cosx?
-
pacman7c3
- Użytkownik
- Posty: 130
- Rejestracja: 15 wrz 2013, o 13:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 95 razy
- Pomógł: 1 raz
Jak wyznaczyć -cos3x znając cosx?
Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ - \cos 3x}\) znając wartość \(\displaystyle{ \cos x}\)? Nie można skorzystać z wzoru na kąt potrojony, ani z tablic.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Jak wyznaczyć -cos3x znając cosx?
A można sobie wyprowadzić ten wzór? Bo można zrobić to dość sprawnie ze wzoru de'moivre'a z jednej strony i wzoru skróconego mnożenia z drugiej dla
\(\displaystyle{ \left( \cos\left( x\right) + i \sin\left( x\right) \right)^{3}= \cos\left( 3x\right) + i \sin\left( 3x\right)}\)
Rozpisane z de'moivre'a
Teraz \(\displaystyle{ \left( \cos\left( x\right) + i \sin\left( x\right) \right)^{3}}\) potraktować można wzorem skróconego mnożenia.
Ale nie jestem pewny czy o to chodzi w tym zadaniu.
\(\displaystyle{ \left( \cos\left( x\right) + i \sin\left( x\right) \right)^{3}= \cos\left( 3x\right) + i \sin\left( 3x\right)}\)
Rozpisane z de'moivre'a
Teraz \(\displaystyle{ \left( \cos\left( x\right) + i \sin\left( x\right) \right)^{3}}\) potraktować można wzorem skróconego mnożenia.
Ale nie jestem pewny czy o to chodzi w tym zadaniu.
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Jak wyznaczyć -cos3x znając cosx?
Hmm... Zacznij tak:
\(\displaystyle{ \cos3x=\cos(2x+x)}\)
Teraz skorzystaj ze wzorów na cosinus sumy kątów:
\(\displaystyle{ \cos(2x+x)= \cos2x \cdot \cos x-\sin2x \cdot \sin x}\)
Teraz stosujesz wzory na cosinus i sinus podwojonego kąta, zamieniasz wszystko na cosius (z jedynki trygonometrycznej) i dostajesz wielomian stopnia trzeciego ze względu na \(\displaystyle{ \cos x}\), czyli
\(\displaystyle{ \cos3x= W(\cos x)}\)
I już.
-- 17 kwi 2014, o 23:56 --
PS: Rozumując w ten sposób dojdziesz do wniosku, że
\(\displaystyle{ \cos 3x = 4 cos^3x - 3 \cos x}\)
Chyba, że się gdzieś rąbnąłem...
\(\displaystyle{ \cos3x=\cos(2x+x)}\)
Teraz skorzystaj ze wzorów na cosinus sumy kątów:
\(\displaystyle{ \cos(2x+x)= \cos2x \cdot \cos x-\sin2x \cdot \sin x}\)
Teraz stosujesz wzory na cosinus i sinus podwojonego kąta, zamieniasz wszystko na cosius (z jedynki trygonometrycznej) i dostajesz wielomian stopnia trzeciego ze względu na \(\displaystyle{ \cos x}\), czyli
\(\displaystyle{ \cos3x= W(\cos x)}\)
I już.
-- 17 kwi 2014, o 23:56 --
PS: Rozumując w ten sposób dojdziesz do wniosku, że
\(\displaystyle{ \cos 3x = 4 cos^3x - 3 \cos x}\)
Chyba, że się gdzieś rąbnąłem...
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Jak wyznaczyć -cos3x znając cosx?
Dwie wersje geometryczne:
1. Rozwiazanie graficzne (niedokładne i niezbyt serio)
Budujesz trójkat prostokątny zawierający kąt x. Na nim kostruujesz dwa kolejne uzyskując kąt 3x. Z końca ramienia tego kąta opuszcasz prostopadłą do podstawy i mierzysz potrzebny Ci kosinus
2. Rozwiazanie analityczne (dokładne i na poważnie)
Można wyprowadzić ten wzór geometrycznie stosując twierdzenie kosinusów dla trójkąta zawierającego kąt 3x.
Można go skonstruować z pomocą trójkątów prostokątnych zawierających kąt x.
To tylko wskazówka, ale jeśli chcesz to napiszę pełne rozwiązanie.
Ps. Jeżeli sam będziesz chciał dojść do wyniku to zacznij od wyprowadzenia wzoru na kosinus 2x(Dwa trójkąty prostokątne o kącie x połącz przyprostokątnymi do niego przyległymi otrzymując trójkąt równoramienny o kącie 2x).Będzie to zarówno wprawka przed trudniejszym zadaniem, jak i jego elrment.
1. Rozwiazanie graficzne (niedokładne i niezbyt serio)
Budujesz trójkat prostokątny zawierający kąt x. Na nim kostruujesz dwa kolejne uzyskując kąt 3x. Z końca ramienia tego kąta opuszcasz prostopadłą do podstawy i mierzysz potrzebny Ci kosinus
2. Rozwiazanie analityczne (dokładne i na poważnie)
Można wyprowadzić ten wzór geometrycznie stosując twierdzenie kosinusów dla trójkąta zawierającego kąt 3x.
Można go skonstruować z pomocą trójkątów prostokątnych zawierających kąt x.
To tylko wskazówka, ale jeśli chcesz to napiszę pełne rozwiązanie.
Ps. Jeżeli sam będziesz chciał dojść do wyniku to zacznij od wyprowadzenia wzoru na kosinus 2x(Dwa trójkąty prostokątne o kącie x połącz przyprostokątnymi do niego przyległymi otrzymując trójkąt równoramienny o kącie 2x).Będzie to zarówno wprawka przed trudniejszym zadaniem, jak i jego elrment.