Wykaż, że spełniona jest równość.

[prypciak]

Kąty w trójkącie mają miary : \(\displaystyle{ \alpha , 2 \alpha , 4 \alpha}\).
Wykaż, że długości boków a, b, c tego trójkąta \(\displaystyle{ \frac{1}{a} -\frac{1}{b} -\frac{1}{c}=0}\)
Zrobiłem tak, że obliczyłem te boki z twierdzenia sinusów, a później wstawiłem do tej równości no i nie chce mi to wyjść.
\(\displaystyle{ a=\sin 2 \alpha \cdot 2R}\)
\(\displaystyle{ b=\sin \alpha \cdot 2R}\)
\(\displaystyle{ c=\sin 4 \alpha \cdot 2R}\)
\(\displaystyle{ \sin 4 \alpha = \sin 3 \alpha}\)
\(\displaystyle{ \sin 4 \alpha = \sin 2 \cdot \left( 2 \alpha \right)}\)
Proszę o pomoc.

[Qń]

Zauważ, że z warunku \(\displaystyle{ \frac 1a = \frac 1b+\frac 1c}\) wynika, że \(\displaystyle{ a}\) jest najkrótszym bokiem trójkąta, leży więc naprzeciwko najmniejszego kąta. Tak więc \(\displaystyle{ a=2R\sin\alpha}\) i równość którą mamy udowodnić można przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ bc= a(b+c)}\)
czyli (po skróceniu \(\displaystyle{ 2R}\)):
\(\displaystyle{ \sin 2\alpha\sin 4\alpha=\sin \alpha(\sin 2\alpha+\sin 4\alpha )}\)
co już powinno być do zrobienia.

Q.

[prypciak]

Nie rozumiem tego kroku ze stwierdzeniem, że a jest najkrótszym bokiem..

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac 1a = \frac 1b+\frac 1c> \frac 1b}\)

Q.