Zbiór wartości funkcji trygonometrycznej

[problem_matematyczny]

Witam, mam problem z zadaniem, gdzie muszę wyznaczyć zbiór wartości :
\(\displaystyle{ y=\sin^{2}x + 4 \sin x +12}\)
No i myślałam, podstawiłam pod \(\displaystyle{ \sin x =t \wedge t \in \left\langle -1,1\right\rangle}\)
czyli \(\displaystyle{ y=-t ^{2} + 4t +12}\)
następnie wzięłam
\(\displaystyle{ f \left( -1 \right) = 7}\)
\(\displaystyle{ f \left( 1 \right) = 15}\)
potem obliczam wierzchołek \(\displaystyle{ p =\frac{-b}{2a} = \frac{-4}{-2} = 2}\)
czyli wierzchołek nie mieści mi się w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -1,1 \right\rangle}\) i nie wiem co mam z tym zrobić i jak rozwiązać dalej
A odpowiedź to \(\displaystyle{ \left\langle 7,15 \right\rangle}\)
Dzięki

[matematyk1995]

Dlaczego przy \(\displaystyle{ t^2}\) masz \(\displaystyle{ -}\) ?-- 6 kwi 2014, o 13:36 --Jeżeli wierzchołek nie należy do przedziału, to liczysz wartość funkcji na krańcach przedziału. Jedna jest max, druga min.

[problem_matematyczny]

nie wpisał mi się przy głównej funkcji powinno byc: \(\displaystyle{ -\sin x}\) tylko się nie wyświetlił, nie wiem czemu ;/

-- 6 kwi 2014, o 12:45 --

aaaaahaaaa czyli tylko tyle trzeba było zrobić. Dobra, dzięki

[matematyk1995]

W porządku. Zastosuj to co napisałem i wyjdzie Ci taka odpowiedź jak podałaś.

[problem_matematyczny]

A mógłbyś mi jeszcze czemu w \(\displaystyle{ y= \tg ^{3}x - \tg ^{2} x + \tg x - 1}\) i rozpisałam na
\(\displaystyle{ y= \tg ^{2}x (\tg x-1) +(\tg x-1)}\)
\(\displaystyle{ y=(\tg ^{2}x +1)(\tg x-1)}\)
i odpowiedz jest \(\displaystyle{ y \in R}\)
czemu do \(\displaystyle{ R}\) ? wiem, ze ogólem z założenia zw: \(\displaystyle{ \tg \in R}\)

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ y=(\tg ^{2}x +1)(\tg x-1)}\)

masz iloczyn dwóch liczb: pierwsza się nazywa \(\displaystyle{ \left( \tg ^{2}x +1\right)}\) i zawsze (czyli dla każdego iksa z dziedziny wyrażenia) jest dodatnia (dlaczego?)
druga, którą jest \(\displaystyle{ \left( \tg x-1\right)}\) - może być zarówno dodatnia, jak i ujemna. Tak jak tangens przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \in R}\), tak samo \(\displaystyle{ \left( \tg x-1\right)}\) też przyjmuje dowolne rzeczywiste wartości zarówno ujemne jak i dodatnie. Powinno być zatem dość logiczne że jak taką liczbę \(\displaystyle{ \left( \tg x-1\right)}\) pomnożysz przez dodatnią \(\displaystyle{ \left( \tg ^{2}x +1\right)}\) to \(\displaystyle{ y}\) może przyjmować dowolne, rzeczywiste wartości

[kamil13151]

Niech: \(\displaystyle{ t= \tan x}\), wówczas \(\displaystyle{ t}\) przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.

Wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego zawsze ma pierwiastek rzeczywisty, a z tego wynika, że zbiorem wartości \(\displaystyle{ g(t)=\ t^3 - t^2 + t - 1}\) jest cały zbiór liczb rzeczywistych, stąd funkcji \(\displaystyle{ y}\) również.