Skomplikowane wyrażeni

[jarodol]

Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{2\sin \frac{ \pi }{3} \cdot \sin( \alpha + \beta )- \frac{2}{\cos \frac{ \pi }{6} } \cdot \cos( \alpha + \beta) }{\sin \alpha }}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ \beta \in (0, \pi ), \sin \beta =0,8}\) oraz:

a) kąt \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem ostrym
b) kąt \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem rozwartym

[kropka+]

Skorzystaj ze wzorów na sinusa i cosinusa sumy kątów, oraz z jedynki trygonometrycznej.

[jarodol]

wlasnie zauwazylem ze w liczniku jest cos podobnego do wzoru na sume tylko gdyby nie ten ułamek z cosinusem.... i przez to nie wiem jak ruszyc

[kropka+]

A dobrze przepisałeś? Może w liczniku jest \(\displaystyle{ \cos ( \alpha - \beta )}\) a nie \(\displaystyle{ \cos ( \alpha +\beta )}\).

[jarodol]

jednak nie. wszystko jest dobrze przepisane

[kropka+]

No to nie pozbędziemy się w wyniku cotangensa alfa.

[jarodol]

powróciłem do tego zadania znowu.... ma ktoś jakiś pomysł?

[Cosinus01]

Po pierwsze uprość wyrażenie:

\(\displaystyle{ \frac{2\sin \frac{ \pi }{3} \cdot \sin( \alpha + \beta ) - \frac{2}{\cos \frac{ \pi }{6} } \cdot \cos( \alpha + \beta) }{\sin \alpha } = \frac{ \sqrt{3} \cdot \sin( \alpha + \beta ) - \frac{4 \cdot \sqrt{3} }{3} \cdot \cos( \alpha + \beta)}{\sin \alpha} = \frac{ \sqrt{3} \left[ \sin( \alpha + \beta ) - \frac{4}{3} \cdot \cos( \alpha + \beta) \right] }{\sin \alpha}}\)

Wzory:

\(\displaystyle{ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\ \\ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\sin\beta \mp \sin\alpha\sin\beta}\)

Podstawiamy:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} \left[ \sin( \alpha + \beta ) - \frac{4}{3} \cdot \cos( \alpha + \beta) \right] }{\sin \alpha} = \frac{ \sqrt{3} \left[ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta - \frac{4}{3} \cdot (\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\sin\beta) \right] }{\sin \alpha} = \frac{ \sqrt{3} \left[ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha \cdot 0,8 - \frac{4}{3} \cdot (\cos\alpha \cdot 0,8 - \sin\alpha \cdot 0,8) \right] }{\sin \alpha} = \frac{ \sqrt{3} \left[ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha \cdot 0,8 - \frac{8}{15} \cdot (\cos\alpha - \sin\alpha) \right] }{\sin \alpha}}\)


Szczerze mówiąc, sam nie mam pojęcia, co dalej zrobić...

[Zahion]

Nie jestem w temacie ale odnośnie ostatniego przekształcenia to można z założeń i jedynki obliczyć wartość
\(\displaystyle{ cos \beta}\) o ile się nie mylę.