Udowodnij, że jeżeli:
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha < \frac{ \pi }{2}}\) , \(\displaystyle{ 0 \le \beta < \frac{ \pi }{2}}\) , \(\displaystyle{ 0 \le \gamma < \frac{ \pi }{2}}\) ,
to zachodzi:
\(\displaystyle{ 3\tan \frac{ \alpha + \beta + \gamma}{3} \le \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma}\)
Nierówność trygonometryczna
-
lubso
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 2 kwie 2014, o 08:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 3 razy
Nierówność trygonometryczna
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2014, o 16:38 przez leszczu450, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
lubso
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 2 kwie 2014, o 08:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 3 razy
Nierówność trygonometryczna
A jakoś dokładniej? Bo do zwykłej nierówności Jensena potrzebuję, żeby dla tych kątów tangensy, sinusy lub cosinusy dawały w sumie 1, a z założeń to raczej nie wynika.
-
Seth Briars
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 20 lis 2013, o 00:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Coot's Chapel
- Pomógł: 55 razy
Nierówność trygonometryczna
Dla dowolnych \(\displaystyle{ a_1,...,a_n \in [0,1]}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_i=1}\) i dla dowolnych \(\displaystyle{ x_1,...,x_n}\) z pewnego przedziału dla funkcji wypukłej \(\displaystyle{ f}\) określonej w tym przedziale zachodzi \(\displaystyle{ f\left(\sum_{i=1}^{n}a_ix_i\right) \le \sum_{i=1}^{n}a_if(x_i)}\)
W przypadku z zadania masz do czynienia z funkcją \(\displaystyle{ \tan}\) określoną w \(\displaystyle{ left[0,frac{pi}{2}
ight)}\). Ta funkcja tangens jest wypukła, gdyż jej druga pochodna jest nieujemna w rozważanym przedziale (warunek dostateczny wypukłości), tzn. dla dowolnego \(\displaystyle{ x in left[0,frac{pi}{2}
ight)}\), \(\displaystyle{ (\tan(x))''=\frac{2\tan(x)}{\cos^2(x)} \ge 0}\). Możemy więc zapisać nierówność \(\displaystyle{ f\left(\sum_{i=1}^{n}a_ix_i\right) \le \sum_{i=1}^{n}a_if(x_i)}\) dla funkcji \(\displaystyle{ \tan}\) ponieważ w Twoim przypadku \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1}\). Otrzymujesz zatem \(\displaystyle{ \tan \left(\frac{1}{3}\alpha+\frac{1}{3}\beta+\frac{1}{3}\gamma \right)=f\left(\sum_{i=1}^{n}a_ix_i\right) \le \sum_{i=1}^{n}a_if(x_i)= \frac{1}{3}\tan(\alpha)+\frac{1}{3}\tan(\beta)+\frac{1}{3}\tan(\gamma)}\).
Z tej nierówności przez pomnożenie stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) wynika nierówność \(\displaystyle{ 3\tan \frac{ \alpha + \beta + \gamma}{3} \le \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma}\)
W przypadku z zadania masz do czynienia z funkcją \(\displaystyle{ \tan}\) określoną w \(\displaystyle{ left[0,frac{pi}{2}
ight)}\). Ta funkcja tangens jest wypukła, gdyż jej druga pochodna jest nieujemna w rozważanym przedziale (warunek dostateczny wypukłości), tzn. dla dowolnego \(\displaystyle{ x in left[0,frac{pi}{2}
ight)}\), \(\displaystyle{ (\tan(x))''=\frac{2\tan(x)}{\cos^2(x)} \ge 0}\). Możemy więc zapisać nierówność \(\displaystyle{ f\left(\sum_{i=1}^{n}a_ix_i\right) \le \sum_{i=1}^{n}a_if(x_i)}\) dla funkcji \(\displaystyle{ \tan}\) ponieważ w Twoim przypadku \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1}\). Otrzymujesz zatem \(\displaystyle{ \tan \left(\frac{1}{3}\alpha+\frac{1}{3}\beta+\frac{1}{3}\gamma \right)=f\left(\sum_{i=1}^{n}a_ix_i\right) \le \sum_{i=1}^{n}a_if(x_i)= \frac{1}{3}\tan(\alpha)+\frac{1}{3}\tan(\beta)+\frac{1}{3}\tan(\gamma)}\).
Z tej nierówności przez pomnożenie stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) wynika nierówność \(\displaystyle{ 3\tan \frac{ \alpha + \beta + \gamma}{3} \le \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma}\)