Nietypowa postać równania prostej.

[PLrc]

Choćbym nie wiem jak kombinował, to z równania Eulera-Lagrange'a zawsze otrzymuję następujące równanie różniczkowe na prostą w układzie biegunowym: \(\displaystyle{ r'= \frac{r \sqrt{r ^{2}-C ^{2} } }{C}}\), gdzie C to jakaś stała (jak do tego dochodzę napisałem w tym temacie: https://www.matematyka.pl/360918.htm#p5217410 ). Teraz separuję zmienne \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \theta}\) i całkuję obustronnie to równanie. Na końcu dostaję równanie na \(\displaystyle{ r=C\arccos \left( \frac{1}{\theta-D} \right)}\), w którym D to dodatkowa stała. Tymczasem spodziewałbym się czegoś w postaci: \(\displaystyle{ r= \frac{b}{\sin \theta-\arccos \theta}}\). Czy te równania są tożsame? Jak uzasadnić, że \(\displaystyle{ r=C\arccos \left( \frac{1}{\theta-D} \right)}\) opisuje prostą? Bardzo proszę o pomoc.