wielomian trygonometryczny

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
duuj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 19 lip 2013, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy

wielomian trygonometryczny

Post autor: duuj »

Wyznaczyć te wszystkie całkowite dodatnie \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ \sin(n\phi)}\) nie jest wielomianem zmiennej \(\displaystyle{ \sin(\phi)}\) gdzie \(\displaystyle{ \phi \in \mathbb{R}}\)

Mógłby ktoś przedstawić ideę dowodu?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

wielomian trygonometryczny

Post autor: kerajs »

Wzór de Moivrea (dla modułu równego 1)
\(\displaystyle{ \left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) ^{n}=\cos n \alpha +i\sin n\alpha}\)

\(\displaystyle{ L=\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) ^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot \cos ^{n-k} \alpha \cdot i ^{k} \cdot \sin ^{k}=}\)
Poszukiwany \(\displaystyle{ \sin n\alpha}\) będzie zawierał wszystkie urojone składniki powyższej sumy.
Kiedy nie da się przedstawić go jako wielomian tylko zmiennej \(\displaystyle{ \sin( \alpha )}\) ? Gdy choć jeden kosinus będzie podnoszony do nieparzystej potęgi.
Elementami urojonymi są te składniki sumy w których ,,i' podnoszone jest do nieparzystej ,,k', a wtedy kosinus podnoszony jest do potęgi ,,n-k'. Stąd aby potęga kosinusa była nieparzysta to ,,n' musi być parzyste. QED
Wnioski:
Dla nieparzystych n, wyrażenie \(\displaystyle{ \sin(n\phi)}\) można przedstawić jako wielomian zmiennej \(\displaystyle{ \sin(\phi)}\), zaś dla parzystych n tak zrobić się nie da.
duuj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 19 lip 2013, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy

wielomian trygonometryczny

Post autor: duuj »

Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych jest jasne, że się da zapisać jako żądany wielomian, natomiast dlaczego dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych się nie da? Gdyby się dało, to istniałyby stałe \(\displaystyle{ a_0,...,a_n}\), że dla każdego \(\displaystyle{ \phi}\) byłoby \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}(-1)^i {n \choose 2i+1}\cos^{n-2i-1}(\phi)\sin^{2i+1}(\phi)=\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}\sin^{n-i}(\phi)}\), a czemu konkretnie przeczyłaby taka równość?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

wielomian trygonometryczny

Post autor: kerajs »

Dla n nieparzystych jest jasne, że się da zapisać jako żądany wielomian, natomiast dlaczego dla n parzystych się nie da?
Z poprzedniego mojego postu wynika że:
\(\displaystyle{ \sin \left( n\phi\right) =\sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n+1}{2} \right\rfloor}(-1) ^{k+1} {n \choose 2k-1}\cos ^{n-2k+1}(\phi)\sin ^{2k-1}(\phi)}\)

Dla n nieparzystych (niech \(\displaystyle{ n=2m+1; m \in N}\) )mam:
\(\displaystyle{ \sin \left( n\phi\right) =\sum_{k=1}^{\left\lfloor m+1 \right\rfloor}(-1) ^{k+1} {2m+1 \choose 2k-1}\cos ^{2m+1-2k+1}(\phi)\sin ^{2k-1}(\phi)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{k=1}^{\left\lfloor m+1 \right\rfloor}(-1) ^{k+1} {2m+1 \choose 2k-1}\cos ^{2(m+1-k)}(\phi)\sin ^{2k-1}(\phi)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{k=1}^{\left\lfloor m+1 \right\rfloor}(-1) ^{k+1} {2m+1 \choose 2k-1}\left( 1-\sin ^{2}\phi \right) ^{m+1-k}(\phi)\sin ^{2k-1}(\phi)=W\left( \sin \phi)\right)}\)

Dla parzystych n ( \(\displaystyle{ n=2m; m \in N _{+}}\) ):
\(\displaystyle{ \sin \left( n\phi\right) =\sum_{k=1}^{\left\lfloor m \right\rfloor}(-1) ^{k+1} {2m\choose 2k-1}\cos ^{2m-2k+1}(\phi)\sin ^{2k-1}(\phi)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{k=1}^{\left\lfloor m+\right\rfloor}(-1) ^{k+1} {2m\choose 2k-1}\cos \phi\cos ^{2(m-k)}(\phi)\sin ^{2k-1}(\phi)=}\)
\(\displaystyle{ =\cos \phi \sum_{k=1}^{\left\lfloor m+1 \right\rfloor}(-1) ^{k+1} {2m\choose 2k-1}\left( 1-\sin ^{2}\phi \right) ^{m-k}(\phi)\sin ^{2k-1}(\phi)=\cos \phi W\left( \sin \phi)\right)}\)
Aby \(\displaystyle{ \sin \left( n\phi\right)}\) był poszukiwanym wielomianem to \(\displaystyle{ \cos \phi}\) należy przedstawić jako wielomian od \(\displaystyle{ \sin \phi}\) co jest niemożliwe.
Ostatnio zmieniony 4 kwie 2014, o 15:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

wielomian trygonometryczny

Post autor: norwimaj »

kerajs pisze: Aby \(\displaystyle{ sin\left( n\phi\right)}\) był poszukiwanym wielomianem to \(\displaystyle{ \cos\phi}\) należy przedstawić jako wielomian od \(\displaystyle{ \sin\phi}\) co jest niemożliwe.
To zbyt śmiała teza, żeby można było ją przytoczyć bez uzasadnienia.

Gdyby był taki wielomian \(\displaystyle{ V}\), że

\(\displaystyle{ V(\sin\phi)= \cos\phi \,W( \sin \phi),}\)

toby zachodziła równość

\(\displaystyle{ 1-t^2=\left(\frac{V(t)}{W(t)}\right)^2}\)

dla \(\displaystyle{ t\in[-1,1]\setminus X}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) — zbiór skończony.

Funkcję wymierną możemy zapisać w postaci ułamka nieskracalnego: \(\displaystyle{ \frac{V(t)}{W(t)}=\frac{V_2(t)}{W_2(t)}}\), gdzie \(\displaystyle{ \gcd(V_2,W_2)=1}\). Z równości

\(\displaystyle{ 1-t^2=\left(\frac{V_2(t)}{W_2(t)}\right)^2}\)

mamy, że \(\displaystyle{ V_2(1)=0\ne W_2(1)}\). Po skorzystaniu z tw. Bézouta i podzieleniu powyższej równości przez \(\displaystyle{ 1-t}\) otrzymujemy po obu stronach równości różne granice przy \(\displaystyle{ t}\) dążącym do \(\displaystyle{ 1}\), co daje sprzeczność.

Może da się to szybciej uzasadnić, ale ja w tej chwili szybszego uzasadnienia nie widzę.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

wielomian trygonometryczny

Post autor: kerajs »

Sorry, w pośpiechu napisałem :
,,Aby \(\displaystyle{ \sin \left( n\phi\right)}\) był poszukiwanym wielomianem to \(\displaystyle{ \cos\left( \phi\right)}\)należy przedstawić jako wielomian od \(\displaystyle{ \sin \phi}\) co jest niemożliwe.'
zamiast:
,,Aby \(\displaystyle{ \sin \left( n\phi\right)}\) był poszukiwanym wielomianem to \(\displaystyle{ \cos\phi}\)należy przedstawić jako wyrażenie wymierne od \(\displaystyle{ \sin \phi}\), co jest niemożliwe.,'

Wydawało mi się to oczywiste gdyż związek \(\displaystyle{ \left|\cos\phi \right|= \sqrt{1-\sin ^{2} \phi}}\) jest wyrażeniem niewymiernym względem sinusa, a wszelkie próby opisania kosinusa jako skończone wyrażenie od sinusa tego samego kąta i tak można do niego sprowadzić.
ODPOWIEDZ