nierówność trygonometryczna

[blazejpop]

Czy ktoś mógłby podpowiedzieć jak to ruszyć? Muszę na chwilę wrócić do trygonometrii.

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{2 \cos x - 1} > 0, x \in (0,2 \pi)}\)

[chris_f]

Tu nie ma co kombinować. Oczywiście dziedzina
\(\displaystyle{ 2\cos x-1\neq0\Rightarrow \cos x\neq\frac12\Rightarrow x\neq\frac{\pi}{4}\wedge x\neq\frac{7\pi}{4}}\).
Teraz można zamienić iloraz na iloczyn (chociaż nie jest to konieczne) i rozwiązać nierówność
\(\displaystyle{ \sin x(2\cos x-1)>0}\)
(oczywiście w przedziale \(\displaystyle{ (0,2\pi}\)) co daje
\(\displaystyle{ \sin x>0\wedge \cos x>\frac12\vee \sin x<0\wedge \cos x<\frac12}\)
Pozostaje tylko szkic wykresów obu funkcji w tym przedziale i zapisanie rozwiązania.

[blazejpop]

Poczekaj, bo czegoś nie ogarniam.
Mógłbyś wyjaśnić o co chodzi z zamianą ilorazu na iloczyn?

[Jan Kraszewski]

Chodzi o równoważność \(\displaystyle{ \frac{a}{b}> 0 \Leftrightarrow ab> 0}\). Ale istotnie użycie jej w tym wypadku nie jest niezbędne.

JK

[blazejpop]

Rzeczywiście. Takie proste, a jednak trudno się domyślić.
Dziękuję za pomoc.

Jeszcze dopytam.

Można stosować takie postępowanie w przypadku równości, przy założeniu, że \(\displaystyle{ b \neq 0}\)

[piasek101]

Gdy masz \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=0}\) to z tego \(\displaystyle{ a=0}\)

[Dilectus]

Udowodnijcie tę równoważność

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}> 0 \Leftrightarrow ab> 0}\)

[kamil13151]

Jeśli \(\displaystyle{ b \neq 0}\), wówczas obustronnie przez \(\displaystyle{ b^2}\) i masz to co chcesz.

[Dilectus]

Jeśli \(\displaystyle{ b \neq 0}\), wówczas obustronnie przez \(\displaystyle{ b^2}\) i masz to co chcesz.

To jest odpowiedź na pytanie, które zadał Blazejpop:

Mógłbyś wyjaśnić o co chodzi z zamianą ilorazu na iloczyn?

-- 28 mar 2014, o 23:40 --