zbiór wartości funkcji trygononetrycznej

[bloopho]

Mam do wyznaczenia zbiór wartosci funkcji:
\(\displaystyle{ \cos \alpha +\cos \beta + \cos \gamma}\)
, gdzie \(\displaystyle{ \alpha \ \ \beta \ \ \gamma}\) to kąty trójkąta.

Prosze o pomoc.

[matematyk1995]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma=\pi}\)
Zapisz: \(\displaystyle{ \cos \alpha +\cos \beta + \cos \gamma}\) w postaci iloczynowej

[bloopho]

Potem skorzystac na wzor na sumę dwoch cosinusow czy cosinus sumy kątów?

-- 25 mar 2014, o 21:40 --

Doszedłem do tego, że jest to równe
\(\displaystyle{ 1+ 4 \cdot \sin \left( \frac{ \alpha }2{} \right) \cdot \sin \left( \frac{ \beta }2{} \right) \cdot \sin \left( \frac{ \gamma }2{} \right)}\)

To, że jest to większe od 1 łatwo udowodnic, ale co z resztą?

[matematyk1995]

Sumę dwoch cosinusow

[bloopho]

Ok, tak zrobiłem, zerkniesz jak udowodnić ten iloczyn ze jest mniejszy od \(\displaystyle{ \frac18}\)?

[matematyk1995]

A tak na marginesie, masz odpowiedź do tego?-- 27 mar 2014, o 16:26 --Można to zrobić inaczej. Nie widzę innego sposobu:
Mamy funkcji: \(\displaystyle{ f(\alpha,\beta )= \cos \alpha +\cos \beta - \cos \left( \alpha+\beta \right)}\)

Musisz znaleźć jej ekstremum.
Nie mogę wymyślić innego sposobu.