Równanie

[Dedemonn]

Jak rozwiązać takie oto równanie:

\(\displaystyle{ 2cos^{2}x+sin2x=1}\)

Robię tak:

\(\displaystyle{ 2-sin^{2}x+sin2x-1=0}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}x+2sinxcosx=0}\)
\(\displaystyle{ cosx(cosx+2sinx)=0}\)

\(\displaystyle{ cosx=0}\)  v  \(\displaystyle{ cosx+2sinx=0}\)

I pytanie co zrobić z tym równaniem po 'lub'? Gdyby nie było tego 2 przy sinusie, to by jakoś wyszło . Najpierw podnoszę to do kwadratu, a potem już nie wiem co zrobić...

[ariadna]

\(\displaystyle{ 2cos^{2}x+sin2x=1}\)

\(\displaystyle{ 2-sin^{2}x+sin2x-1=0}\)

A nie raczej:
\(\displaystyle{ 2-2sin^{2}x+sin2x-1=0}\)?

[soku11]

\(\displaystyle{ 2cos^{2}x+sin2x=1 \\
2(1-sin^{2}x)+2sinxcosx=1 \\
2-2sin^{2}x+2sinxcosx=1 \\
1-2sin^{2}x+2sinxcosx=0 \\
sin^{2}x+cos^{2}x-2sin^{2}x+2sinxcosx=0 \\
cos^{2}x-sin^{2}x+2sinxcosx=0 \\
cos2x-sin2x=0\\
cos2x-cos(\frac{\pi}{2}-2x)=0}\)

Dalej dasz rade POZDRO

[Hac_mi;]

ma ktoś wyniki do tego zadania ?... bo nie wiem czy mi dobre wyszły ?? :]

[soku11]

Ja zrobilem tak:
\(\displaystyle{ -2sin\frac{\pi}{4}sin\left( 2x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\
sin\left( 2x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\
2x-\frac{\pi}{4}=k\pi\\
x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\ k\in\mathbb{C}\\}\)

POZDRO

[Dedemonn]

Mi znowu inaczej wychodzi, bo już sam nie wiem, czy
\(\displaystyle{ x_{o}}\) dla \(\displaystyle{ sin(2x-\frac{\pi}{4})}\) to \(\displaystyle{ \pi}\) czy 0...

\(\displaystyle{ sin(2x-\frac{\pi}{4})=0}\)
jeśli \(\displaystyle{ x_{o}=0}\) to
\(\displaystyle{ 2x-\frac{\pi}{4}=2k\pi}\) (bo okres sinx to przecież \(\displaystyle{ 2k\pi}\), a nie \(\displaystyle{ k\pi}\))
\(\displaystyle{ 2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{8}+k\pi, k\in C}\)


a jeśli \(\displaystyle{ x_{o}=\pi}\) to
\(\displaystyle{ 2x-\frac{\pi}{4}=\pi+2k\pi\\
2x=\frac{5}{4}\pi+2k\pi\\
x=\frac{5}{8}+k\pi, k\in C}\)

Co robię źle/dobrze? ;]

[sztuczne zęby]

Sinus każdą wartość oprócz 1 i -1 przyjmuje 2 razy w okresie i tak się składa, że wartość 0 przyjmuje dla 0, później pi i tak dalej.
Czyli w tym przypadku zapisuje się \(\displaystyle{ + k \pi}\).
W przypadku innych wartości np: 0,5 wychodzą dwie serie odpowiedzi, a tak jak w tym zadaniu dla 0 jedna ale za to "gęściejsza".

[Dedemonn]

Jeszcze ostatnie pytanie, bo widzę, że moje poprzednie rozwiązania są złe przez te \(\displaystyle{ 2k\pi}\).

Czy tylko przy równaniu \(\displaystyle{ sinx=0}\) i \(\displaystyle{ cosx=0}\) okres zasadniczy wynosi \(\displaystyle{ k\pi}\), a nie \(\displaystyle{ 2k\pi}\)? Dokładniej chodzi o to, np. przy równaniu:

\(\displaystyle{ sinx=1}\) mamy
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)

a przy
\(\displaystyle{ sinx=0}\)
\(\displaystyle{ x=k\pi}\) bez dwójki przed \(\displaystyle{ \pi}\)

[sztuczne zęby]

Jest właśnie tak jak piszesz, a żeby się do końca przekonać dlaczego tak jest znajdź sobie gdzieś dobry wykres sinusa i go dokładnie przeanalizuj.

[Hac_mi;]

nie chce sie czepiać ale warto zaznaczyć że \(\displaystyle{ k C}\)

[Dedemonn]

Czepiasz się .

[Lorek]

To \(\displaystyle{ k\pi}\) to też otrzymujemy ze zwykłego rozwiązania i 2 serii \(\displaystyle{ 2k\pi}\), z tym, że się później co nieco upraszcza.