Zgubione rozwiązania równania trygonometrycznego.

[pacman7c3]

"Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos x + \sin x = \sin x \tan x + \sqrt{3} \sin x \wedge x \in \left\langle - \frac{ \pi }{2}, \frac{3 \pi}{2} \right\rangle}\).

Oto moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos x \left( \cos x - \sin x \right) = \sin x \left( \sin x - \cos x \right) \\
\\
\frac{ \sqrt{3} \cos x }{ \sin x } = \frac{ \sin x - \cos x }{ \cos x - \sin x } = -1 \\
\\
\sqrt{3} \ctg x = -1 \\
\\
\ctg x = - \frac{ \sqrt{3} }{3} \\
\\
x = \left\{ - \frac{ \pi }{3} , \frac{2 \pi}{3} \right\}}\)

Niestety, tym sposobem zgubiłem dwa wyniki. Czy ktoś może rozumie, dlaczego?

[a4karo]

A jakie operacje wykonujesz przy przekształcaniu równania? Czy zawsze można je zrobić?

[pacman7c3]

Czy chodzi o to, że niewykluczone, że \(\displaystyle{ \sin x = 0}\)?

[a4karo]

No to po kolei: co zrobiłeś w pierwszym kroku: pomnożyłes obie strony przez \(\displaystyle{ \cos x}\). Kiedy wolno coś takiego zrobić bezkarnie?
Co zrobiłęs w drugim kroku?
Co zrobiłes w trzecim kroku?

Czego nie zrobiłeś? Nie przeanalizowałeś dla jakich \(\displaystyle{ x}\) równanie ma sens.

[pacman7c3]

\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos x + \sin x = \sin x \tan x + \sqrt{3} \sin x}\)
Rozwiązanie:
1. Mnożę przez \(\displaystyle{ \cos x}\). Wydaje mi się, że takie działanie nie ma ograniczeń, tzn. w równościach zawsze można bezkarnie mnożyć przez liczbę:
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos^2 x + \sin x \cos x = \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x}\)

2. Przekształcam i faktoryzuję:
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = \sin^2 x - \sin x \cos x \\
\sqrt{3} \cos x \left( \cos x - \sin x \right) = \sin x \left( \sin x - \cos x \right)}\)

3. Dzielę stronami. Tutaj widzę mój błąd: jeden z mianowników może równać się zero.
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3} \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x }{\cos x - \sin x} = -1}\)

Czy popełniłem jeszcze jakieś inne błędy po drodze?

[a4karo]

A przez zero obie strony też mozna mnożyć? No to \(\displaystyle{ 3=2}\), bo \(\displaystyle{ 3\cdot 0=2\cdot 0}\).

Zastanów się zatem, jakie rozwiązania pogubiłeś przez taka niefrasobliwość i będziesz miał gotowe rozwiązania

[pacman7c3]

Good point! Dziękuję bardzo. W tym momencie pojawia się pytanie do autorów książki, którzy (zdaje mi się) popełnili błąd mnożenia przez możliwe zero. Oto oryginalne rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \sqrt{3} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} \\}\)
Następnie zamiana na \(\displaystyle{ \tan x}\), podmiana \(\displaystyle{ \tan x = t}\) i równanie kwadratowe. Otrzymane pierwiastki to \(\displaystyle{ t = -\sqrt{3} \vee t=1}\). Podany przedział \(\displaystyle{ x \in \left\langle - \frac{ \pi }{2}, \frac{3 \pi}{2} \right\rangle}\) zawiera \(\displaystyle{ 0}\) dla każdej funkcji trygonometrycznej. Czy dobrze więc zauważam, że rozwiązanie nie jest do końca poprawne, bo nie wykluczono możliwości \(\displaystyle{ \cos x = 0}\)?

Ale: W treści zadania mamy \(\displaystyle{ \tan x = \frac{\sin x}{ \cos x}}\). Czyli niejako jest informacja, że \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\). W tym wypadku również moje mnożenie jest poprawne. Pozostaje błąd w kroku 3., czyli dzielenie przez \(\displaystyle{ \sin x}\) i przez \(\displaystyle{ \left( \cos x - \sin x \right)}\).

[a4karo]

Jest dokładnie tak, jak zauważyłeś po "Ale:" mnożenie/dzielenie przez kosinus jest usprawiedliwione. Reszta nie.