Pomieszane funkcje w równaniu

[pingwindyktator]

Witam. Jak rozwiązać równanie typu
\(\displaystyle{ \sin \alpha = m \cdot \alpha}\)
ze względu na \(\displaystyle{ \alpha}\)?

[a4karo]

Funkcja \(\displaystyle{ S(x)=\frac{\sin x }{x}}\) jest ścisle malejąca w przedziale \(\displaystyle{ [0,\pi]}\), ma więc funkcje odwrotną \(\displaystyle{ S^{-1}}\). Nie potrafimy jej opisać znanymi funkcjami, ale nasze równanie to \(\displaystyle{ S(\alpha)=m}\), więc \(\displaystyle{ \alpha=S^{-1}(m)}\).

[pingwindyktator]

A stosując przybliżenia?

[a4karo]

Masz do dyspozycji parę metod, jedna z nich jest metoda połowienia przedziałów. Szczegóły znajdziesz na Wiki

[pingwindyktator]

a4karo, jesteś pewien, że możemy powiedzieć, ze istnieje
\(\displaystyle{ S^{-1}}\) dla
\(\displaystyle{ S(x) = \frac{\sin x}{x}}\) ?
\(\displaystyle{ S}\) nie jest chociażby różnowartościowe. Zatem z definicji wynikałoby, ze taka funkcja odwrotna nie istnieje. A skoro nie, to co, rozwiązanie również nie istnieje?

[a4karo]

Przeczytałeś mój post dokładnie? Piszę o przedziale \(\displaystyle{ [0,\pi]}\). Sinus nie jest tam różnowartosciowy, ale \(\displaystyle{ S(x)}\) tak.

[pingwindyktator]

A poza tym przedziałem rozwiązanie nie istnieje?

[a4karo]

Może istnieć, czasem nawet kilka. Dla \(\displaystyle{ m=0}\) łatwo znajdziesz wszystkie rozwiazania.

Największą wartościa funkcji \(\displaystyle{ S(x))}\) jest\(\displaystyle{ 1}\) osiagane dla \(\displaystyle{ x=0}\), a najmniejszą \(\displaystyle{ \approx-0.217234}\) dla \(\displaystyle{ x\approx 4.49341}\).
Dla \(\displaystyle{ m\neq 0}\) w tym przedziale istnieje skończona ilośc rozwiązań (wymysl dlaczego skończona?).