równanie trygonometryczne

[lordbross]

Równość wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \sin^{2}4x - \sin^{2}3x - 1 + \cos^{2}x = 0}\)

[jarek4700]

Powinno dać się spałować.
Przynajmniej wolfram twierdzi że to samo co \(\displaystyle{ \sin x - \sin 7x = 0}\)
To ostatnie można zamienić na postać iloczynową.

[Marmat]

Będę korzystał ze wzorów:
\(\displaystyle{ \sin^2x+\cos^2x=1 \\
\sin \alpha + \sin \beta =2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \cos \frac{ \alpha - \beta }{2} \\
\sin \alpha - \sin \beta =2\sin \frac{ \alpha - \beta }{2} \cos \frac{ \alpha + \beta }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin2 \alpha =2 \sin \alpha \cos \alpha}\)
Rozwiązujmy:
\(\displaystyle{ \sin^{2}4x - \sin^{2}3x - 1 + \cos^{2}x = 0}\)
najpierw jedynka:
\(\displaystyle{ \sin^{2}4x - \sin^{2}3x -(\sin^2x+\cos^2x) + \cos^{2}x = 0 \\
\sin^{2}4x - \sin^{2}3x -\sin^2x = 0}\)
teraz wzór na różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ \left( \sin4x- \sin3x\right) \left( \sin4x + \sin3x \right)- \sin^2x=0}\)
dalej cytowane wyżej wzory:
\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{7x}{2} *2 \sin \frac{7x}{2} \cos \frac{x}{2}- \sin^2x=0}\)
Ze wzorów połówkowych:
\(\displaystyle{ sinx \sin7x - \sin^2x = 0}\)
\(\displaystyle{ sinx*\left( \sin7x - sinx \right) =0 \\
sinx*2 \sin3x \cos4x =0 \\
2 sinx \sin3x \cos4x =0}\)
\(\displaystyle{ sinx=0 \ \vee \sin3x=0 \ \vee \cos4x=0}\)
Dalej to już chyba łatwo.
Pozdrawiam.