\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha} \right) \cdot \left( 1 + \ctg \alpha + \frac{1}{\ctg \alpha} \right) = \frac{\cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha } - \frac{\sin \alpha}{ \cos ^{2} \alpha }}\)
Mam sprawdzić następującą tożsamość, udało mi się dojść do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\left( \cos \alpha - \sin \alpha\right)\left( \cos \alpha \cdot \sin \alpha + 1\right) }{\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha }}\)
Proszę o nakierowanie mnie co więcej mogę z tym zrobić, by uzyskać oczekiwaną odpowiedź.
Sprawdź następujące tożsamości
Sprawdź następujące tożsamości
Ostatnio zmieniony 17 mar 2014, o 16:01 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
Sprawdź następujące tożsamości
Quik, dam Ci gotowe rozwiązanie. W takich zadanich nie ma naprowadzania. Trzeba po prostu kombinować.
Zatem do dzieła. Doszedłeś do dobrej postaci. Ale dalej trzeba zrobić jeszcze kilka ruchów.
\(\displaystyle{ \frac{\left( \cos \alpha - \sin \alpha\right)\left( \cos \alpha \cdot \sin \alpha + 1\right) }{\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha }= \frac{\sin \alpha \cos^2 \alpha + \cos \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha - \sin \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha\left( 1-\sin^2 \alpha\right) + \cos \alpha-\left( 1-\cos^2 \alpha\right)\cos \alpha - \sin \alpha }{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha}= \\ \frac{\sin \alpha -\sin^3 \alpha +\cos \alpha -\cos \alpha +\cos^3 \alpha - \sin \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} = \frac{-\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} = \\ \frac{\cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha } - \frac{\sin \alpha}{ \cos ^{2} \alpha }}\)
Zatem do dzieła. Doszedłeś do dobrej postaci. Ale dalej trzeba zrobić jeszcze kilka ruchów.
\(\displaystyle{ \frac{\left( \cos \alpha - \sin \alpha\right)\left( \cos \alpha \cdot \sin \alpha + 1\right) }{\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha }= \frac{\sin \alpha \cos^2 \alpha + \cos \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha - \sin \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha\left( 1-\sin^2 \alpha\right) + \cos \alpha-\left( 1-\cos^2 \alpha\right)\cos \alpha - \sin \alpha }{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha}= \\ \frac{\sin \alpha -\sin^3 \alpha +\cos \alpha -\cos \alpha +\cos^3 \alpha - \sin \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} = \frac{-\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} = \\ \frac{\cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha } - \frac{\sin \alpha}{ \cos ^{2} \alpha }}\)