Równanie trygonometryczne

baksio · Post autor: **baksio** » 10 maja 2007, o 06:55

Ma ktoś jakiś pomysł?
\(\displaystyle{ (sinx)^{10}+(cosx)^{10}=\frac{29}{16}cos^4(2x)}\)

z góry dzięki za pomoc.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 10 maja 2007, o 07:14

Podstaw \(\displaystyle{ t=\cos^2x}\), powinno się nieco uprościć.

sztuczne zęby · Post autor: **sztuczne zęby** » 10 maja 2007, o 08:00

Upraszcza się znacznie do wielomianu stopnia 4 a później jak dla mnie nic nie idzie z tym wielomianem zrobić.
I dalej się zastanawiam, czy może jest jakiś podstępny sposób na to równanie. Ma ktoś jakiś pomysł?

baksio · Post autor: **baksio** » 10 maja 2007, o 08:10

Dokładnie tak jak pisze sztuczne zęby, więc chyba pomysł z podstawieniem nie jest dobry chyba że jest jeszcze jakiś myk w tym równaniu wielomianowym

PFloyd · Post autor: **PFloyd** » 10 maja 2007, o 10:35

no to tak:
\(\displaystyle{ cos2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x\\
cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\\
sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}\\

\\
sin^{10}x+cos^{10}=(sin^2x)^5+(cos^2x)^5=\frac{(1-cos2x)^5+(1+cos2x)^5}{32}=\frac{10cos^42x+20cos^22x+2}{32}\\

\\
10cos^42x+20cos^22x+2=58cos^4x\\
24cos^42x-10cos^22x-1=0}\)
pozostaje rozwiązać równanie dwukwadratowe jeśli się gdzieś w rachunakch nie pomylilem

[ Dodano: 10 Maj 2007, 10:37 ]
btw. ale wcześnie wstajecie