Tożsamość trygonometryczna

[MaTTematyk]

Czy mogę korzystać bez udowadniania ze wzoru \(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha }{2} = \frac{1 -\cos \alpha }{\sin \alpha }}\)? i jak wyprowadzić z niego wzór \(\displaystyle{ \tg \frac{ \alpha }{2} = \sqrt{ \frac{1 - \cos \alpha }{1 + \cos \alpha } }}\) jeśli \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0; \frac{ \pi }{2} \right)}\)?

[piasek101]

Możesz.

Wstaw sinusa z jedynki trygonometrycznej.

[MaTTematyk]

no ale tam nie ma \(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha}\)

[piasek101]

Ale jest sinus i to dodatni, czyli pierwiastek z czegoś.

[MaTTematyk]

\(\displaystyle{ tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{1-\cos \alpha }{ \sqrt{1-\cos ^{2} \alpha } }}\) i co dalej?

[Zahion]

Niewymierność.

[MaTTematyk]

\(\displaystyle{ \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{1 - \cos \alpha }{\sin \alpha } = \frac{1 - \cos \alpha }{ \sqrt{\sin ^{2} \alpha } } = \frac{1 - \cos \alpha }{ \sqrt{1 - \cos ^{2} \alpha } } = \frac{1 - \cos \alpha }{ \sqrt{(1 - \cos \alpha )(1 + \cos \alpha } } = \frac{(1-\cos \alpha) \sqrt{1 - \cos \alpha } }{ \sqrt{1 + \cos \alpha }\left| 1 - \cos \alpha \right| } = \sqrt{ \frac{1 - \cos \alpha }{1 + \cos \alpha } }}\)
Wielkie dzięki za pomoc