Zbieranie rozwiązań równania trygonometrycznego.

[Belv]

Cześć!

Mam taki problem. Nie wiem jakim uniwersalnym sposobem można zbierać rozwiązania równania. Mam np. przykład w którym wychodzą wyniki \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4} +k \pi \wedge x=k \pi \wedge x= \frac{ \pi }{2} +k \pi \wedge x=- \frac{ \pi }{4} + k \pi}\)

Proszę mi o wytłumaczenie tego procesu, jak Wy to robicie. Bo wszystkie odpowiedzi z zadań mam w zebranym jednym wyniku i nie mogę tego ogarnąć. Czasami są też takie równania w których wychodzą np. 4 rozwiązania, a po zebraniu są 2.

[lukasz1804]

Cześć

Ja proponuję wyznaczyć rozwiązania dla dwóch (bądź trzech) kolejnych wartości \(\displaystyle{ k}\), np. dla \(\displaystyle{ k=0, k=1}\). Już wtedy powinno być widać, czy niektóre rozwiązania się powtarzają.

[Belv]

Czyli tak.. W przedziale \(\displaystyle{ (0, \pi )}\) rozwiązania powtarzają się co \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\), bo jest \(\displaystyle{ x \in { ( \frac{ \pi }{4} , \frac{ \pi }{2} , \frac{3}{4} \pi, ) }}\) Czyli będzie \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}}\) (no bo co tyle sie powtarza) + \(\displaystyle{ \frac{k \pi }{4}}\) (\(\displaystyle{ k \pi}\) dzielone na 4 części, bo tyle jest rozwiązań w przedziale \(\displaystyle{ \pi}\) ?

[lukasz1804]

Twój ostatni zapis sugeruje, że rozwiązaniem są też całkowite wielokrotności liczby \(\displaystyle{ \pi}\). Tymczasem nie należą one do żadnej z trzech rozważanych rodzin rozwiązań.
Proponuję zatem taki zapis \(\displaystyle{ x\in\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{4}:k\in\ZZ\right\}\setminus\{k\pi:k\in\ZZ\}}\) lub nawet krócej \(\displaystyle{ x\in\left\{\frac{k\pi}{4}:k\in\ZZ\setminus 4\ZZ\right\}}\).