Rozwiąż równanie.

[Duke]

2sin(x)^2+sin(x)-1=0 dla jakiego x jest to spełnione.

[ariadna]

\(\displaystyle{ 2sin^{2}x+sinx-1=0}\)
Zmienna pomocnicza t:
\(\displaystyle{ t=sinx}\)
Musi zachodzić
\(\displaystyle{ -1\leqslant{t}\leqslant1}\)
I mamy:
\(\displaystyle{ 2t^{2}+t-1=0}\)
Rozwiąż i wróć do podstawienia.

[Dargi]

\(\displaystyle{ 2sin(x)^2+sin(x)-1=0}\)
Dajesz zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=sinx}\)
\(\displaystyle{ 2t^2+t-1=0}\)
\(\displaystyle{ 2(t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2})=0}\)
\(\displaystyle{ 2[(t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16})-\frac{1}{16}-\frac{8}{16}]=0}\)
\(\displaystyle{ 2[(t+\frac{1}{4})^2-\frac{9}{16}]=0}\)
\(\displaystyle{ 2[(t+\frac{1}{4})^2-(\frac{3}{4})^2]=0}\)
\(\displaystyle{ 2(t-\frac{1}{2})(t+1)=0}\)
\(\displaystyle{ t-\frac{1}{2}=0\vee t+1=0}\)
Podstawmy za \(\displaystyle{ t}\) \(\displaystyle{ sinx}\)
\(\displaystyle{ sinx-\frac{1}{2}=0\vee sinx+1=0}\)
\(\displaystyle{ sinx=\frac{1}{2}\vee sinx=-1}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \frac{5 \pi}{6}+2k\pi x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\epsilon C}\)

[Duke]

skąd się wzięło
2(t-1/2)(t+1)=0 wiem żę to się równa t^2+12t-1/2 ale jak na to wpadłeś

[Dargi]

Duke, tej metody nauczył mnie mój nauczyciel. Otóż spróbuję ci ją wytłumaczyć a na przykład weźmy równanie z twojego zadania:
\(\displaystyle{ t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=0}\)
Teraz to równanie sprowadzamy do postaci na kwadrat sum czyli chcemy uzyskać taką postać:
\(\displaystyle{ a^2+2ab+b^2}\) co jest równe\(\displaystyle{ (a+b)^2}\) wracamy do tamtego przypadku:
\(\displaystyle{ t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=0}\)pierwszego i drugiego człona nie ruszamy tylko chcemy wyznaczyć ten 3 człon co nie jest wcale takie trudne stosujemy taką metodę:
To co jest przed \(\displaystyle{ t}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) dzielimy na 2 i podnosimy do kwadratu więc otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{16}}\) Więc postać wzór ma postać\(\displaystyle{ t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16}}\) lecz widzimy że do równania to już nie będzie pasować więc popatrzmy\(\displaystyle{ t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{2}=0}\) Jak widać dodaliśmy \(\displaystyle{ \frac{1}{16}}\) Żeby mieć wzór więc musimy również odjąć żeby mieć prawdziwą równość żeby ciebie to nie myliło damy w to nawias\(\displaystyle{ (t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16})-\frac{1}{16}-\frac{1}{2}=0}\) Teraz sprowadzamy to do róznicy kwadratów \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\)
\(\displaystyle{ (t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16})-\frac{1}{16}-\frac{8}{16}=0}\)
\(\displaystyle{ (t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16})-\frac{9}{16}=0}\)
\(\displaystyle{ (t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16})-(\frac{3}{4})^2=0}\)

Zauważmy że przecież \(\displaystyle{ (t+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16})=(t^2+\frac{1}{4})^2}\) więc:
\(\displaystyle{ (t+\frac{1}{4})^2-(\frac{3}{4})^2=0}\)
Mamy różnicę kwadratów więc stosujemy wzór:
\(\displaystyle{ (t+\frac{1}{4}-\frac{3}{4})(t+\frac{1}{4}+\frac{3}{4})=0}\)
\(\displaystyle{ (t-\frac{2}{4})(t+\frac{4}{4})=0}\)
\(\displaystyle{ (t-\frac{1}{2})(t+1)=0}\)

Jeżeli czegoś jeszcze nie rozumiesz pytaj.

[Duke]

Spoko, dzięki miałem te metodę tylko nie załapałem tamtego przejścia, zrobiłem to równanie deltą, wyszło to samo, ale gościówa by się przyczepiła że robię czymś czego nie było na lekcji. Bardzo mi pomogłeś dziękuję, inaczej mogłoby być nieciekawie, a muszę jej to dać na kartce. Idę kończyć wykresy uff.