równanie trygonometryczne

[Nerchio123]

Rozwiązać równianie:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^3+\sin2x-1=0}\). Jakieś wskazówki?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sin 2x-1}\) zapisz w innej postaci

[Nerchio123]

Chyba wyszło, rozwiązanie to \(\displaystyle{ x= k\frac{\pi}{2}}\), \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)?

[miodzio1988]

pokaz jak liczysz to sprawdzimy

[Marmat]

\(\displaystyle{ \left( \sin x+\cos x \right) ^3+\sin 2x-1=0}\)
\(\displaystyle{ \left( \sin x+\cos x \right) ^3+2\sin x\cos x-1=0 \\
\left( \sin x+\cos x \right) ^3+2\sin x\cos x+1-2=0 \\
\left( \sin x+\cos x \right) ^3+2\sin x\cos x+\sin ^2x+\cos ^2x-2=0 \\
\left( \sin x+\cos x \right) ^3+ \left( \sin x+\cos x \right) ^2-2=0}\)
Teraz podstawienie : \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=t}\)
Pozdrawiam

[Nerchio123]

\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^3+\sin2x-1=(\sin x+\cos x)^3+2\sin x\cos x-1=(\sin x+\cos x)^3+(\sin x+\cos x)^2-2}\)


\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=t

t^3+t^2-2=0 \Leftrightarrow (t-1)(t^2+t+2)=0 \Leftrightarrow t=1

\sin x+\cos x=1 \wedge \sin^2x+\cos^2x=1 \Leftrightarrow (\cos x=0 \wedge \sin x=1) \vee (\sin x=0 \wedge \cos x=1)}\)

[Marmat]

Popełniono błąd nie wpływający na rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (t-1)(t^2+2t+2)=0}\)
Rozwiązania wynikające z tych warunków to: \(\displaystyle{ x=2k \pi \ \ \vee \ x= \frac{ \pi }{2} +2k \pi \ k \in Z}\)

[Nerchio123]

Rzeczywiście, dziękuję.