równanie trygonometryczne z parametrem m

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
boski_login
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 89
Rejestracja: 28 maja 2013, o 12:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: poznań
Podziękował: 4 razy

równanie trygonometryczne z parametrem m

Post autor: boski_login »

Cześć, mam taki problem:

\(\displaystyle{ m \cos x + \sin x=2m \Rightarrow \sin x= 2m - m\cos x}\)
Dopisuję do tego równania tożsamość trygonometryczną:
\(\displaystyle{ \cos^2 x + \sin^2 x=1}\)

Podstawiam wyznaczonego sinusa z pierwszego do drugiej tożsamości, otrzymuję:

\(\displaystyle{ \cos^2 x(1+m^{2}) -\cos x 4m^{2} +4m ^{2} -1 =0}\)

stosuje podstawienie: \(\displaystyle{ t = \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ -1 \le t \le 1}\)

obliczam deltę, wychodzi taki wynik:\(\displaystyle{ -12m ^{2} +4}\)

Tutaj chyba musimy rozpatrywać dwie możliwości:
1)\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
2)\(\displaystyle{ \Delta>0}\)

1) \(\displaystyle{ -12m ^{2} +4 =0}\)
\(\displaystyle{ m= \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ m= - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

Na tym etapie nie mam pojęcia co z tym alej zrobić.
Bo z drugiego równania gdzie delta jest większa od 0 otrzymamy jakiś przedział.
Proszę o wskazówki co dalej, będę wdzięczna.
Ostatnio zmieniony 8 mar 2014, o 13:38 przez leszczu450, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

równanie trygonometryczne z parametrem m

Post autor: kropka+ »

A jakie jest polecenie w tym zadaniu?
Ponadto, na samym wstępie przyjęłaś, że \(\displaystyle{ \sin x= \sqrt{1-\cos ^{2} x }}\), a przecież sinus może być też ujemny.
Delta też mi wyszła inna.
boski_login
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 89
Rejestracja: 28 maja 2013, o 12:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: poznań
Podziękował: 4 razy

równanie trygonometryczne z parametrem m

Post autor: boski_login »

Treść: wyznacz parametr m dla którego równanie ma rozwiązania .
Czyli podstawienie sinusa pod tą tożsamość jest złe ?
A mi wychodzi właśnie taka Delta. Liczyłam to kilka razy.
Ostatnio zmieniony 8 mar 2014, o 18:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

równanie trygonometryczne z parametrem m

Post autor: kropka+ »

Uwzględniasz dwa przypadki:
!). \(\displaystyle{ \sin x \ge 0 \Rightarrow \sin x= \sqrt{1-\cos ^{2}x }}\)
2). \(\displaystyle{ \sin x < 0 \Rightarrow \sin x= - \sqrt{1-\cos ^{2}x }}\)

1)
\(\displaystyle{ \sin x= \sqrt{1-\cos ^{2}x }=2m-m \cos x=m(2-\cos x)}\)
Dla \(\displaystyle{ m<0}\) równanie jest sprzeczne.
Dla \(\displaystyle{ m \ge 0}\) rozpatrujesz nierówność \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) (nie musisz rozbijać na dwa przypadki).

Twoja \(\displaystyle{ \Delta}\) jest dobra (to ja się pomyliłam).

Czyli dostałaś dwa miejsca zerowe delty. Szkicujesz parabolę z tymi miejscami zerowymi. Wyznaczasz przedział, w którym delta jest nieujemna, i z niego "podprzedział" bo założyłyśmy \(\displaystyle{ m \ge 0}\)

Potem przypadek 2)
ODPOWIEDZ