Przekształcenie wyznacznika macierzy

[Oti]

Witam.

Jestem na pierwszym roku studiów i Pani od matematyki dała nam takie zadanie:

Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&\sin \left( x \right) &\cos \left( x \right) \\1&\sin \left( y \right) &\cos \left( y \right) \\1&\sin \left( z \right) &\cos \left( z \right) \end{array}\right|=-4\sin \frac{x-y}{2} \sin \frac{y-z}{2} \sin \frac{z-x}{2}}\)

Próbowałem robić tak: wyszedłem od lewej strony, rozpisałem wyznacznik macierzy jako sumę iloczynów sinusów i różnic cosinusów, co po zastosowaniu wzoru na róznicę cosinusów tworzyło sumę iloczynów 3 sinusów z różnymi parametrami:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&\sin \left( x \right) &\cos \left( x \right) \\1&\sin \left( y \right) &\cos \left( y \right) \\1&\sin \left( z \right) &\cos \left( z \right) \end{array}\right|=\\=\sin x \left( \cos y-\cos z \right) +\sin y \left( \cos z-\cos x \right) +\sin z \left( \cos x-\cos y \right) =\\=-2\sin x \sin \frac{y+z}{2} \sin \frac{y-z}{2}-2\sin y \sin \frac{z+x}{2} \sin \frac{z-x}{2}-2\sin z \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}}\)

W tym miejscu jedyne na co udało mi się wpaść to zastosowanie wzoru na iloczyn 3 sinusów i otrzymałem sumę:
\(\displaystyle{ - \left( \sin \left( x-y \right) +\sin \left( y-z \right) +\sin \left( z-x \right) \right)}\)

Nie mam pojęcia co mam z tym dalej zrobić, może powinienem to ugryźć od innej strony? Uprzejmie proszę o porady.

[Kacperdev]

Myślę, że prościej wyzerować dwie jedynki z pierwszej kolumny i później rozwinięcie Laplace. Zostanie jeden wyznacznik 2 na 2 i wtedy popatrzeć.

[Oti]

@up

Rzeczywiście! Wielkie dzięki, nie wpadłbym na to-zupełnie nie myślałem w tych kategoriach. Faktycznie jak odjąłem 3ci wiersz od 1wszego i drugiego, potem w macierzy 2x2 zastosowałem wzory na różnicę sinusów/cosinusów i z wierszy udało się wyciągnąć dwa potrzebne czynniki przed wyznacznik. Trzeci wyszedł z samego wyznacznika.

[Kacperdev]

Zawsze trzeba patrzeć szerzej i upraszczać co się da. Metoda Sarrusa powinna być zakazana . Pozdrawiam.