równanie trygonometryczne z parametrem m

[boski_login]

\(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{ m^{2} -4m+1}{ m^{2} -1}}\)
Witam,
Mam z tym rownaniem problem. chodzi o wyznaczenie parametru m dla którego rownanie jest prawdziwe. Lewą stronę równania zamieniłam na\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha}\). Sinus przyjmuje wartości z przedziału od 1 do -1. Dlatego założyłam że prawa strona równania musi być większa od -1 i mniejsza od 1. Czy to dobry sposób na rozwiązanie tego zadania.

[leszczu450]

boski_login, tak. To dobry pomysł.

[boski_login]

Dziękuję. W celu upewnienia się czy na pewno wszystko poszło gładko zapytam o ostateczne rozwiązanie. Otrzymałam przedział domknięty od 2 do nieskończoności.

[mortan517]

To jeden przedział, zgubiłaś jeszcze jakiś.

[leszczu450]

boski_login, pokaż jak liczysz. Mi prgoram pokazuje coś więcej.

[boski_login]

\(\displaystyle{ \frac{ m^{2}-4m+1 }{ m^{2} -1} \ge -1}\)
\(\displaystyle{ m in (- infty , 0] cup [2, infty )}\)
I dalej z drugiej nierówności wychodzi:
\(\displaystyle{ m in [ frac{1}{2} , infty )}\)
Dodatkowo wiemy że m jest różne od 1 i -1.

[leszczu450]

boski_login, ok. I co z tymi przedziałami teraz musisz zrobić?

[boski_login]

Strzelam. Wyznaczyć ich część wspólną (?).... próbowałam wybierać różne liczby z tych przedziałów, podkładać je do wzoru i sprawdzać czy się zgadza ... może nie rozwazylam wszystkich możliwości ale prawidłowe rozwiązania dają liczby z przedziału od 2 do nieskończoności

[leszczu450]

boski_login, musisz rozwiązć dwie nierówności :

\(\displaystyle{ \frac{ m^{2} -4m+1}{ m^{2} -1} \ge -1}\)

\(\displaystyle{ \frac{ m^{2} -4m+1}{ m^{2} -1} \le 1}\)

Wyjdą Ci przedziały różne. Nanosisz je na oś i bierzesz ich cześć wspólną. Dlaczego? Ano dlatego, że szukamy tych \(\displaystyle{ m}\) , które spełniają jednocześnie te wszystkie nierówności. Szukamy \(\displaystyle{ m}\) , które są w każdym przedziale, który wyliczyliśmy. Jasne?

[boski_login]

Czyli rozwiązaniem jest przedział \(\displaystyle{ [2, infty )}\) tak (?)

[leszczu450]

boski_login, źle. Cos źle liczysz i nie chcesz tego pokazać. Dlaczego źle? Sprawdź co sie dzieje dla \(\displaystyle{ m=0}\). Nierówność jest prawdziwa. A u Ciebie tego punktu nie ma w rozwiązaniu.

[mortan517]

Rozwiązując te nierówności nie mnożysz przez mianownik prawda?

Należy przenieść wszystko na jedną stronę, sprowadzić do wspólnego mianownika i z skorzystać z faktu, że znak ilorazu i iloczynu jest identyczny.

[boski_login]

No dobra, po prostu trudno wyznaczyć mi te część wspólną.
Po rozpisaniu mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ 1. (2 m^{2} -4m)(m ^{2} -1) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2. (-4m+2)( m^{2} -1) \le 0}\)
\(\displaystyle{ 1. m=0, m=2, m=1 i m=-1}\)
\(\displaystyle{ 2. m= \frac{1}{2} , m=1, m=-1}\)
Więc co tu będzie częścią wspólną (?)
Proszę o podanie konkretnego rozwiązania.y

[leszczu450]

boski_login, wytłumacz się z tego co piszesz. Skąd się wzięła pierwsza linijka?

[boski_login]

To proszę napisz jak powinnam to rozwiązać. Sama nie potrafię.