równanie trygonometryczne z parametrem m

[leszczu450]

boski_login, nie rozwiążę, za Ciebie. To elementarne nierówności. Nie ma tu nic trudnego. Odrobina wysiłku.

[boski_login]

Twoje wcześniejsze wypowiedzi zupełnie mi nie pomogły. Zapisałam swoją propozycję i wynik jaki mi wyszedł. Nie wiem co mogłabym tu jeszcze wykonać. Chciałabym wiedzieć jakie jest prawidłowe rozwiązanie bo to stanowiło by już dla mnie jakiś punkt odniesienia, a w tym momencie błądzę.
Fajnie, że dla Ciebie to takie proste. Bardzo.

-- 2 mar 2014, o 17:22 --

\(\displaystyle{ \frac{ m^{2}-4m+1 }{ m^{2} -1} \ge -1}\)
przenoszę jedynkę na lewą stronę i doprowadzam do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{m^2-4m+1+m^2-1}{m^2-1} \ge 0}\)
czyli mamy:
\(\displaystyle{ \frac{2m^2-4m}{m^2-1} \ge 0}\)
zamieniam iloraz na iloczyn:
\(\displaystyle{ (2m^2-4m)(m^2-1) \ge 0}\)
Następnie przyrównuję lewą stronę do zera i obliczam wszystkie miejsca zerowe. Oto one:
\(\displaystyle{ m=-1, m=1, m=0, m=2}\)

Podobnie postępowałam z drugą nierównością.-- 2 mar 2014, o 17:25 --Moje pytanie do Was sprowadza się do tego jaki przedział jest tu ostatecznie rozwiązaniem (?)

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ m\in\left\langle 0;\frac12\right\rangle \cup \langle 2;+\infty)}\)

[leszczu450]

boski_login, mówiłem Ci to kilka razy. Pokaż jak liczysz i pokaż gotowe przedziały. Ty wypisujesz tylko miejsca zerowe.

[boski_login]

z pierwszej nierówności otrzymuję przedziały:
\(\displaystyle{ left(- infty ,-1
ight] cup left[ 0,1
ight] cup left[ 2, infty
ight)}\)

DRUGA NIERÓWNOŚĆ:
\(\displaystyle{ \left(-4m+2\right)\left(m^2-1\right) \le 0}\)
rozwiązania:
\(\displaystyle{ m= \frac{1}{2}, m=1, m=-1}\)
przedziały:
\(\displaystyle{ \left(- \infty , -1 \right] \cup \left[ \frac{1}{2} ,1 \right]}\)
część wspólna:
\(\displaystyle{ left[ frac{1}{2},1
ight] cup left[ 2, infty
ight)}\)

-- 2 mar 2014, o 22:39 --

Wychodzi mi złe rozwiązanie i nie wiem gdzie robię błąd.
Wypisuję miejsca zerowe, bo czekam na konkretne wskazówki od Ciebie.
Nie oganiam tych przedziałów. Nie wiem po prostu co dalej...

[leszczu450]

boski_login, źle liczysz drugą nierówność. Zróbmy z tym porządek.

\(\displaystyle{ 1 \ge \frac{ m^{2} -4m+1}{ m^{2} -1} \ge -1}\)

A to można rozbić na taką koniunkcję:

\(\displaystyle{ 1 \ge \frac{ m^{2} -4m+1}{ m^{2} -1} \quad \wedge \quad \frac{ m^{2} -4m+1}{ m^{2} -1} \ge -1}\)

Koniunkcja nam tutaj podpowiada, że na końcu będziemy brać część wspólną wszystkich otrzymanych przedziałów, gdyż muszą zachodzić te warunki rówocześnie.

Zajmijmy się więc pierwszym przapadkiem:

\(\displaystyle{ 1 \ge \frac{ m^{2} -4m+1}{ m^{2} -1}}\)

Przenosimy jedynkę. Do wspólnego mianownika.

\(\displaystyle{ \frac{\left(m^2-4m+1-m^2 +1\right) }{m^2-1} \le 0}\)

Przemnażamy przez mianownik podniesiony do kwadratu. (Dlaczego?)

\(\displaystyle{ \left( -4m+2\right)\left( m^2-1\right) \le 0}\)

Wyjmujemy minus dwójkę przed nawias i obustronnie dzielimy. Pamiętac tutaj trzeba, że przemnażając/dzieląc nierówności stronami przez ujemną liczbę musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd:

\(\displaystyle{ \left( 2m-1\right)\left( m-1\right)\left( m+1\right) \ge 0}\)

Jakie otrzymujemy zatem przedziały?

\(\displaystyle{ m in left[ -1, frac{1}{2}
ight] cup left[ 1, infty
ight)}\)


Zajmijmy się teraz drugą nierównością. Tę policzyłaś dobrze.

\(\displaystyle{ \frac{ m^{2}-4m+1 }{ m^{2} -1} \ge -1}\)

Tutaj \(\displaystyle{ m \in \left( -\infty,-1\right] \cup \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,\infty\right]}\)

Bierzemy część wspólną wszystkich otrzymanych przedziałów. Mamy zatem :


\(\displaystyle{ m\in\left\langle 0;\frac12\right\rangle \cup \langle 2;+\infty)}\)

[boski_login]

Super, już wszystko jasne. Chyba porostu źle rysowałam krzywą na osi liczbowej podczas wyznaczania tych przedziałów i to dlatego ciągle miałam zły wynik.
Dziękuję za poświęcony czas.
Pozdrawiam.