Oblicz sumę stu pierwiastków

[klex535]

Obliczyć sumę stu najmniejszych pierwiastków równania:
\(\displaystyle{ 2\cos^{4} x -\cos 2x= \frac{3}{4}}\)
Nie wiem jak dojść do normalnej postaci umożliwiającej obliczenie. Proszę o pomoc

[pyzol]

Na początku skorzystaj ze wzoru na cosinus kąta podwojonego. Potem z jedynki pozbądź się sinusa. Następnie napisz co wyszło.

[klex535]

Próbowałem coś robić:
\(\displaystyle{ 2\cos ^{4} x -2 \cos ^{2} x+ \frac{1}{4} =0}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ t=\cos ^{2}x \\ 1 \ge t \ge 0}\)
No i wyszło:
\(\displaystyle{ 2t ^{2} -2t + \frac{1}{4} =0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=2\\
t _{1}= \frac{2- \sqrt{2} }{4} \\
t _{2}= \frac{2+ \sqrt{2} }{4}}\)
Dobrze to?

[pyzol]

Czyli:
\(\displaystyle{ \cos x=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \vee \cos x=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \vee \cos x=-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \vee \cos x=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\)
Teraz google i tablice.

[klex535]

\(\displaystyle{ \cos 68 \vee -\cos 68 \vee \cos 23 \vee -\cos 23}\)
Trzeba brać z tablic nie da się tego wyliczyć ?

[pyzol]

Nie podałeś dokładnych. Zapis brzydki. Im raczej chodzi o rozwiązania w radianach. Już ktoś je wyliczył. Jakbyś miał \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\), to być bez liczenia wpisał wynik. Tutaj kąt nieco dziwny (na maturze nie dadzą takiego, bo w tablicach na maturze nie ma raczej podanych tych wartości).
Rysujesz wykres cosinusa i odszukujesz wszystkie możliwe rozwiązania na przedziale \(\displaystyle{ [-pi;2pi)}\)
I tak dla \(\displaystyle{ \cos x=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\)
mamy:
\(\displaystyle{ x=\frac{3\pi}{8}\vee x=2\pi-\frac{3\pi}{8}}\)
Ponieważ cosinus jest okresowy, otrzymamy rozwiązania:
\(\displaystyle{ x=\frac{3\pi}{8}+2k\pi \vee x=2\pi-\frac{3\pi}{8}+2k\pi}\)
Teraz robisz to dla kolejnego rozwiązania.

Jest to trochę męczące. Przy cosinusie można trochę nasze rozwiązanie uprościć i pominąć pewne rachunki.

[klex535]

\(\displaystyle{ x= \frac{3}{8}\pi+2k\pi \ \vee \ x= \frac{13}{8}\pi+2k\pi \ \vee \ x= \frac{5}{8}\pi+2k\pi \ \vee \ x= \frac{11}{8}\pi+2k\pi \ \vee \ x= \frac{1}{8}\pi+2k\pi \ \vee \ x= \frac{15}{8}\pi+2k\pi \ \vee \ x= \frac{7}{8}\pi+2k\pi \ \vee \ x= \frac{9}{8}\pi+2k\pi}\)
Jak to ,,złożyć" bo z ośmiu trochę ciężko-- 2 mar 2014, o 12:39 --\(\displaystyle{ x= \frac{3}{8}\pi+ \frac{k\pi}{4}}\)
Tak ma być to zamienione?
Wtedy suma wychodzi \(\displaystyle{ 1275\pi}\)

[pyzol]

No ładnie, tylkoo, że najmniejszy to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{8}\pi=a_1\\
r=\frac{\pi}{4}}\)

[klex535]

A no zapomniałem tego to będzie:
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{8}\pi+ \frac{k\pi}{4}}\)
No i suma \(\displaystyle{ 1250\pi}\)
Dobrze?

[pyzol]

ok