Dwa trudne zadania z sinusami i cosinusami.

Foqusonik · Post autor: **Foqusonik** » 23 lut 2014, o 19:59

Cześć.
Mam problem z dwoma zadankami. Będę wdzięczny za wszelką pomoc.

Zadanie 1

Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=1+2 \cos x-\sin ^{2}x}\). Znajdź argument dla którego funckja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartość najmniejszą.

Zadanie 2

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie:
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos(x- \frac{ \pi }{5})+3=4 \sin m-\sin(x- \frac{ \pi }{5}) \cdot \cos x}\)
nie jest sprzeczne?

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 23 lut 2014, o 20:03

1. jedynka trygonometryczna
2. wzór na sinus sumy kątów

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 23 lut 2014, o 20:17

Foqusonik, co do pierwszego zadania to patrz tutaj. Niedawno było na forum:
359232.htm

Marmat · Post autor: **Marmat** » 24 lut 2014, o 11:37

Najpierw Przenieś odpowiednie wyrazy:
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos \left( x- \frac{ \pi }{5} \right) + \cos x\cdot\sin \left( x- \frac{ \pi }{5} \right) =4 \sin m-3}\)
Zastosuj wzór na sinus sumy:
\(\displaystyle{ \sin \left( \alpha + \beta \right) =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \sin \left( x+x- \frac{ \pi }{5} \right) = 4\sin m -3}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( 2x- \frac{ \pi }5{} \right) = 4\sin m -3}\)
Dalej znając zbiór wartości funkcji sinus:
\(\displaystyle{ -1 \le 4\sin m-3 \le 1 \\
2 \le 4\sin m \le 4 \\
\frac{1}{2} \le \sin m \le 1}\)
Rozwiązujemy te nierówności i mamy odpowiedź.
Pozdrawiam.

Foqusonik · Post autor: **Foqusonik** » 25 lut 2014, o 19:41

Funkcja bazowa:
\(\displaystyle{ f(x)=1+2 \cos x-\sin ^{2}x}\)

Po przekształceniach użytkownika cris_f:
\(\displaystyle{ f(x)=1+2\cos x-\sin^2x=1+2\cos x-(1-\cos^2x)=2\cos x+\cos^2x}\)

I wystarczy, że z funkcji, którą otrzymał cris_f wyliczę \(\displaystyle{ t _{1}}\) i \(\displaystyle{ t _{2}}\). Co potem?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 25 lut 2014, o 19:50

Znajdź wierzchołek paraboli i podaj zbiór wartości. Uwaga: interesuje nas tylko przedział argumentu \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\)

Foqusonik · Post autor: **Foqusonik** » 25 lut 2014, o 20:02

Delta wyszła mi 0, a \(\displaystyle{ x _{0}=-1}\). Ramiona skierowane do góry. Co teraz? Wypisać przedział? Jeśli tak, to jaki?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 25 lut 2014, o 20:07

Gołym okiem widać, że źle policzyłeś. Przecież \(\displaystyle{ f(x)=\cos x (2+ \cos x)}\)

Foqusonik · Post autor: **Foqusonik** » 25 lut 2014, o 20:09

Czyli \(\displaystyle{ 2 \cos x + \cos ^{2} x}\).

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 25 lut 2014, o 20:12

Tak jest. Tylko z postaci iloczynowej widać, że są dwa miejsca zerowe, a nie jedno. Wniosek: zła delta.

Foqusonik · Post autor: **Foqusonik** » 25 lut 2014, o 20:14

Podstawiam \(\displaystyle{ t}\) za \(\displaystyle{ \cos x}\) i wyliczam deltę. Tylko ja za \(\displaystyle{ c}\) z racji tego że nie ma wyrazu wolnego przyjąłem 1. Mam podstawić 0?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 25 lut 2014, o 20:20

Jasne, że tak. Gdyby było \(\displaystyle{ c=1}\) to byś podstawił \(\displaystyle{ 1}\).

Foqusonik · Post autor: **Foqusonik** » 25 lut 2014, o 20:39

\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{-2+2}{2} = \frac{0}{2} = 0}\)
Tak to ma wyglądać?

Jeśli tak, to \(\displaystyle{ x _{1} = -2 ; x _{2} = 0}\)

Czyli współrzędne wierzchołka to \(\displaystyle{ (-1, -1)}\). Dobrze?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 25 lut 2014, o 20:48

Dobrze. Teraz narysuj parabolę.

Foqusonik · Post autor: **Foqusonik** » 25 lut 2014, o 20:49

Wiem, że nie powinienem o to prosić, ale to zadanie jest mi na jutro potrzebne i to bardzo a początek szkoły mam o 7.30 (bus godzinę wcześniej), dlatego jeśli możecie, to rozwiążcie mi je w całości, a ja je sobie jutro rano przepiszę. Z góry dziękuję.

Narysowałem parabolę. I co teraz?