okresowość funkcji trygonometrycznej

[Masita+++]

udowodnij że funkcja \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \sin x + \sin \left( \sqrt{2}x \right)}\) nie jest okresowa

dziękuje za pomoc

[waliant]

36940.htm

[Seth Briars]

Gdyby była okresowa to musiałoby być \(\displaystyle{ f(0)=f(t)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \neq 0}\), a skoro \(\displaystyle{ f(0)=2}\), to \(\displaystyle{ f(t)=2}\) skąd \(\displaystyle{ \sin(t)+\sin(\sqrt{2}t)=2}\), a wobec nierówności \(\displaystyle{ \sin(a) \le 1}\) i prawa \(\displaystyle{ (a \le b \wedge c \le d) \Rightarrow a+c \le b+d}\) w którym równość zachodzi tylko wtedy gdy, \(\displaystyle{ a=b,c=d}\) musiałoby być \(\displaystyle{ \sin(t)=1 \wedge \sin(\sqrt{2}t)=1}\), co nie jest możliwe gdyż z \(\displaystyle{ \sin(t)=1}\) dostajemy \(\displaystyle{ t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k \in \mathbb{Z}}\), zaś \(\displaystyle{ \sqrt{2}t=\sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi \right) \neq \frac{\pi}{2}+2m\pi}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}}\) gdyż \(\displaystyle{ \sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi \right) \neq \frac{\pi}{2}+2m\pi\Leftrightarrow \sqrt{2}\left(\frac{1}{2}+2k\right) \neq \left(\frac{1}{2}+2m\right)}\), (liczba niewymierna nie jest wymierna)