udowodnij że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ \sin ^{2n} x + \cos ^{2n}x \ge \frac{1}{ 2^{n - 1} }}\)
dziękuje za pomoc
nierówności trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 112
- Rejestracja: 5 sty 2014, o 20:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 33 razy
nierówności trygonometryczne
Ostatnio zmieniony 22 lut 2014, o 19:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
nierówności trygonometryczne
Podstaw \(\displaystyle{ y=\sin ^2x}\). Jak wtedy wyglada dana nierówność?
Ostatnio zmieniony 22 lut 2014, o 19:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Seth Briars
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 20 lis 2013, o 00:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Coot's Chapel
- Pomógł: 55 razy
nierówności trygonometryczne
Niech \(\displaystyle{ a,b}\) będą rzeczywiste i takie, że \(\displaystyle{ a+b=1}\).Zauważmy, że jeśli (bez straty ogólności ze względu na symetrię) \(\displaystyle{ a<0}\), to \(\displaystyle{ b>1}\) i wtedy nierówność \(\displaystyle{ a^{2n}+b^{2n} >1 \ge \frac{1}{2^{n-1}}}\) zachodzi. Załóżmy więc dalej, że \(\displaystyle{ a,b \ge 0}\). Zauważmy dalej, że \(\displaystyle{ ab \le \frac{1}{4}}\). Istotnie - \(\displaystyle{ ab-\frac{1}{4}=a(1-a)-\frac{1}{4}=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2 \le 0}\). Podnosząc stronami do kwadratu założenie \(\displaystyle{ a+b=1}\) i szacując \(\displaystyle{ ab}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ a^2+b^2=1-2ab \ge \frac{1}{2}}\). Dalej zauważmy, że \(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^4+b^4 \ge \frac{1}{4}-2a^2b^2 \ge \frac{1}{8}}\). Dalej postępujemy podobnie tzn. \(\displaystyle{ a^4+b^4 \ge \frac{1}{8} \Leftrightarrow a^8+b^8 \ge \frac{1}{64}-2a^4b^4 \ge \frac{1}{64}-2 \cdot \frac{1}{256}=\frac{1}{128}=\frac{1}{2^7}=\frac{1}{2^{8-1}}}\). Postępując w ten sposób (podnosząc nowo otrzymaną nierówność do kwadratu) zawsze otrzymamy oszacowanie prawdziwe, które też jest żądanym oszacowaniem (formalizacja tej koncepcji przez indukcję).