Zbiór wartości funkcji.

[prypciak]

Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) =1+2\cos x- \sin ^{2}x}\). Znajdź argument, dla którego funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartość najmniejszą.
Zadanie próbowałem robić na zasadzie podstawienia, \(\displaystyle{ \sin x=t}\) ( czy powinienem tutaj dać założenie że \(\displaystyle{ t\in\left\langle -1;1\right\rangle}\) ) ?
Wyszło mi że \(\displaystyle{ t_{1}=1- \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}=1+ \sqrt{2}}\)
Nie wiem jak ruszyć dalej.

[mortan517]

\(\displaystyle{ f \left( x \right) =1+2\cos x- \sin ^{2}x =2\cos x + \left( 1- \sin ^{2}x \right)}\)

[chris_f]

Robiłbym to raczej tak:
\(\displaystyle{ f(x)=1+2\cos x-\sin^2x=1+2\cos x-(1-\cos^2x)=2\cos x+\cos^2x}\)
Wtedy przyjmując \(\displaystyle{ t=\cos x}\) dostaniemy funkcje kwadratową
\(\displaystyle{ f(t)=2t+t^2}\)
i trzeba znaleźć jej zbiór wartości dla \(\displaystyle{ t\in[-1,1]}\) oraz wartość najmniejszą. Wszystko już w tym momencie robisz tak jak dla funkcji kwadratowej.

PS. Czyli tak jak napisał mortan517.

[leszczu450]

Można też zamienić \(\displaystyle{ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x}\). Wtedy funkcja będzie wyglądała tak:

\(\displaystyle{ f(x)= \cos^2 x + 2 \cos x}\)

I zrobić to tak:

\(\displaystyle{ -2 \le 2\cos x \le 2}\)
\(\displaystyle{ -2 \le 2\cos x + \cos^2 x \le 3}\)

Bez żadnych wykresów. Posiłkując się jedynie wartościami cosinusa.

[kropka+]

Raczej
\(\displaystyle{ -1 \le 2\cos x + \cos^2 x \le 3}\)

[leszczu450]

kropka+, no jasne. Czeski błąd : )

[prypciak]

Skorzystałem z podpowiedzi kolegi mortan517 oraz chris_f.
Wszystko wyszło.
Dzięki za pomoc !